Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Естествознание arrow Биофизика
Посмотреть оригинал

Качественный анализ модели.

Основной подход в современной кинетике и математическом моделировании биологических процессов заключается в отказе от нахождения точных аналитических решений дифференциальных уравнений. Идея состоит в получении качественных характеристик динамического поведения системы: устойчивые и неустойчивые стационарные состояния, переходы между ними, колебательные режимы, качественная зависимость поведения системы от критических значений параметров. Многие из этих вопросов решаются методами качественной теории дифференциальных уравнений, которые позволяют выявить важные общие свойства модели, не прибегая к нахождению в явном виде неизвестных функций.

Наиболее важным свойством стационарного состояния является его устойчивость. Эта устойчивость определяется способностью системы самопроизвольно возвращаться в стационарное состояние после внесения внешних возмущений, отклоняющих систему от исходной стационарной точки.

Устойчивость стационарной точки.

Возьмем простейшую открытую систему

в которую поступает вещество а из внешнего резервуара с постоянной скоростью Ц(, = цпр1|Т = const.

Уравнение кинетики имеет простой вид: где к — константа скорости сотт.

Решить уравнение (1.11) очень просто. Попробуем, однако, найти значение стационарной точки а = а и определить ее устойчивость графически, не прибегая к точномурешению уравнения (1.11). Очевидно, стационарное состояние в (1.11) устанавливается при

том значении а = а, когда скорости притока и оттока становятся равными друг другу (o„piIT = дотт).

На рис. 1.5 построены зависимости от а скоростей нприт = и0 и иогг = ка. Графики упрн1 и дотг являются прямыми линиями, которые пересекаются в точке, где дпрнт = цотт, т. е. в стационарной точке а - а.

Посмотрим теперь, устойчива ли эта точка. Допустим, что в нашей системе, находящейся в стационарном состоянии й = о, возникло случайное возмущение, вызвавшее увеличение стационарной концентрации а на величину Да и уводящее тем самым систему от точки а в соседнюю точку а+Аа. В новом возмущенном состоянии, где а = а+Аа. величины нпр1,т и ит1 уже ке равны друг другу и, следовательно, концентрация а+Аа начнет изменяться. Как видно из графиков (см. рис. 1.5), в точке а+Аа соотношение величин цпр||Т и уотт таково, что здесь дотт > и0. А это означает, что в системе будет самопроизвольно уменьшаться и концентрация а = (а+Аа), вместе с ней и скорость притока дпрнт = ка до тех пор, пока вновь не восстановится равенство скоростей цприт = доп, когда а = а.

Легко видеть, что аналогичная картина будет наблюдаться, если случайное отклонение от точки а = а приведет к уменьшению стационарной концентрации а и переводу системы в точку а-Аа. По-

График зависимости скоростей притока (у) и оттока (д,) от величины а

Рис. 1.5. График зависимости скоростей притока (уп?|1Т) и оттока (д,тт) от величины а

скольку здесь uorr < у0, то в этой области произойдет рост величины а -Аа и скорости оттока до тех пор, пока иотт не станет равной и0, а система вернется в первоначальное положение а = а. Таким образом, случайные отклонения от стационарной точки (±Дя) компенсируются самой системой, которая находится в устойчивом стационарном состоянии.

 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы