ПРИНЯТИЕ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА

ЗАДАЧА МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА

Чрезвычайно широкий и крайне важный с практической точки зрения класс задач теории принятия решений составляют многокритериальные задачи, в которых качество принимаемого решения оценивается по нескольким критериям одновременно. Успешное решение многокритериальных задач невозможно без использования различного рода сведений о предпочтениях лица, принимающего решение. При этом одним из самых главных источников таких сведений является информация об относительной важности критериев. Но прежде чем учиться выявлять и использовать эту информацию, необходимо выяснить, что она собой представляет. Какой смысл содержит высказывание о том, что один критерий важнее другого критерия? Как имеющуюся в распоряжении информацию об относительной важности критериев можно использовать в процессе принятия решений? Обсуждению и решению этих и близких к ним вопросов посвящена эта глава.

Моделирование предпочтений

Рассмотрим ситуации, когда имеется несколько числовых функций /ь/2, т>2, определенных на множестве возможных решений X.

В зависимости от типа задачи принятия решений эти функции называют критериями эффективности, целевыми функциями, показателями или критериями качества. В задаче выбора наилучшего проектного решения множество X состоит из нескольких конкурсных проектов (например, строительства нового предприятия), а критериями эффективности могут служить стоимость реализации проекта / и величина прибыли/2, которую обеспечит данное проектное решение (т.е. построенное предприятие). Если ограничить рассмотрение данной задачи лишь одним критерием эффективности, практическая значимость решения такой задачи будет незначительной. В самом деле, при использовании только первого критерия будет выбран самый дешевый проект, но его реализация может привести к недопустимо малой прибыли. С другой стороны, на строительство самого прибыльного проекта, выбранного на основе второго критерия эффективности, может просто не хватить имеющихся средств. Поэтому в данной задаче необходимо учитывать оба указанных критерия одновременно. Если дополнительно стараться минимизировать нежелательные экологические последствия строительства и функционирования предприятия, то к двум указанным следует добавить еще один — третий критерий, учитывающий экологический ущерб от строительства предприятия, и т.д. Лицом, принимающим решение, в данной задаче является глава администрации района, на территории которого будет построено предприятие, при условии, что это предприятие является государственным. Если же предприятие частное, то в качестве ЛПР выступает глава соответствующей фирмы.

Указанные выше числовые функции /, /2, ..., fm образуют векторный критерий:

который принимает значения в пространстве /и-мерных векторов R". Это пространство называют критериальным пространством или пространством оценок, а всякое значение Дх) = (/1(х), /г(х), ..., fm(x))eK" векторного критерия /при определенном хеХ именуют векторной оценкой возможного решения х. Все возможные векторные оценки образуют множество возможных оценок (возможных векторов)

Обозначим множество выбираемых решений SeUf, которое представляет собой решение задачи выбора, SelAcJf. Наряду с множеством выбираемых решений удобно ввести в рассмотрение множество выбираемых векторов (выбираемых оценок) SelE = /(SeLY) = {ye Y | у = = f(x), xeSeLY}, представляющее собой некоторое подмножество критериального пространства Rm.

Для того чтобы осуществить более обоснованный выбор, следует, помимо векторного критерия, располагать какими-то дополнительными сведениями о предпочтениях ЛПР. С этой целью необходимо включить в многокритериальную задачу еще один элемент, который позволил бы выразить и описать эти предпочтения. Рассмотрим два возможных решения х' и х". Предположим, что после предъявления ЛПР этой пары решений, оно выбирает (отдает предпочтение) первому из них. В этом случае пишут х' у х х". Знак >- х служит для обозначений предпочтений данного ЛПР и называется отношением строгого предпочтения или отношением предпочтения. Отношение строгого предпочтения означает, что решение х' строго предпочтительнее, чем х". Отношение безразличия означает, что решения х? и х" одинаковы по предпочтительности (если выбор ограничить двумя этими решениями, то безразлично, какой из них взять); записывается как х' ~ х". Отношение нестрогого предпочтения означает, что решение х' не менее предпочтителен, чем х", т.е. отношение нестрогого предпочтения есть объединение отношений строгого предпочтения и отношения безразличия); записывается как х' Ух х".

Отношение предпочтения У х , заданное на множестве возможных решений, естественным образом

порождает отношение предпочтения Уг на множестве возможных векторов У. Тем самым вектор у' = fix') является предпочтительнее вектора тогда и только тогда, когда решение

х' предпочтительнее решения

Для описания и изучения введенного выше отношения предпочтения существует специальное математическое понятие — бинарное отношение. Пусть имеются два произвольных множества А и В. Декартовым произведением этих множеств называется множество, обозначаемое А х В и определяемое равенством А х В = {(я, Ь) | ае А, be В}.

Бинарным отношением Л, заданным на множестве А, называется подмножество декартова произведения Ах А, т.е. 91 с А х А. Другими словами, всякое множество пар, составленных из элементов множества Л, образует некоторое бинарное отношение. В частности, самым «широким» бинарным отношением является множество Л = А х А, совпадающее с данным декартовым произведением. Если имеет место включение (а, Ь) е 91, то обычно пишут а 91 b и говорят, что элемент а находится в отношении Л с элементом Ь. Заметим, что в общем случае из а 91 b не следует выполнение соотношения b 91 а.

Приведем примеры некоторых бинарных отношений. Из курса арифметики известен целый ряд бинарных отношений, определенных на множестве вещественных чисел: =, >, <, > и <. В теории множеств рассматривается бинарное отношение включения с, заданное на множестве всех подмножеств некоторого фиксированного множества. Введем следующие активно используемые в дальнейшем изложении бинарные отношения для произвольных векторов а = (а, аг, ..., ат) и b = (Ь, Ьг, ..., Ьт) пространства Rт:

Выполнение последнего соотношения а > Ъ означает, что каждая компонента вектора а больше либо равна соответствующей компоненты вектора Ь, причем хотя бы одна компонента первого вектора строго больше соответствующей компоненты второго вектора.

В зависимости от свойств, которыми обладают бинарные отношения, производят их типизацию. Приведем определения некоторых распространенных типов бинарных отношений.

Бинарное отношение % заданное на множестве А, называют: рефлексивным, если соотношение а 9 а имеет место для всех а е А; иррефлексивным, если соотношение а 9 а не выполняется ни для одного а е А;

симметричным, если всякий раз из выполнения соотношения а 91 b для элементов a, be А следует выполнение соотношения b 91 я;

асимметричным, если из выполнения соотношения а 91 b для элементов а, b е А всегда следует, что соотношение Ь 91 а места не имеет;

антисимметричным, если всякий раз из выполнения соотношений а Э b, b Э а для элементов а, b е А вытекает равенство а = Ь;

транзитивным, если для любой тройки элементов а, Ь, с е А из выполнения соотношений а 91 b, Ь 91 с всегда следует справедливость соотношения а ЧЛ с;

инвариантным относительно линейного положительного преобразования, если для любых трех элементов а, Ь, с е А и произвольного положительного числа а из выполнения соотношения а b всегда вытекает соотношение (а х а + с) 9? (а х Ь + с) (здесь считается, что А = R"');

полным, если для любой пары элементов а, Ъ е А выполняется соотношение а 9? b или соотношение b 91 а, или оба эти соотношения одновременно;

частичным, если это отношение не является полным.

Отношения равенства = и нестрогого неравенства > дают примеры рефлексивных, а отношение строгого неравенства > и отношение > — иррефлексивных отношений на Rm. Отношения равенства и нестрогого неравенства являются симметричными и антисимметричными, а отношения > и > — асимметричны. Все отношения =, >, >, > транзитивны и инвариантны относительно линейного положительного преобразования. Отношения равенства и отношения строгого неравенства, очевидно, являются частичными. Отношение нестрогого неравенства >, рассматриваемое на множестве чисел, является полным потому, что для любых двух чисел а и b выполнено а > b либо b > а, либо оба эти неравенства одновременно. Если же отношения нестрогого неравенства рассмотреть на множестве векторов R"' при т > 1, то оно окажется лишь частичным.

Нетрудно проверить, что всякое асимметричное отношение ирреф- лексивно. Действительно, если некоторое асимметричное отношение Д? не является иррефлексивным, то для некоторого а е А выполнено соотношение а 91 а. Но благодаря асимметричности данного отношения последнее соотношение не должно иметь места. Полученное противоречие устанавливает иррефлексивность 91.

Бинарное отношение 91, заданное на множестве А, называют:

  • ? порядком (отношением порядка), если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно;
  • ? строгим порядком (отношением строгого порядка), если оно является иррефлексивным и транзитивным;
  • ? линейным порядком, если оно является полным порядком.

Из определений следует, что строгий порядок и линейный порядок

являются представителями отношений порядка. Отношение нестрогого неравенства > на множестве вещественных чисел представляет собой линейный порядок, тогда как на множестве векторов это отношение будет лишь частичным. Отношение >, рассматриваемое на множестве векторов, является строгим частичным порядком.

Покажем, что всякое отношение строгого порядка является асимметричным. Предположим противное: некоторое отношение 91 иррефлексивно и транзитивно, но не является асимметричным. Это означает, что найдется пара элементов а, b е А, для которой выполнены соотношения а 91 b и Ь 91 а одновременно. На основании транзитивности отсюда следует а 91 а, что несовместимо с условием иррефлексивности отношения Э?.

Еще один пример строгого порядка, заданного на пространстве Rm дает лексикографическое отношение порядка, задаваемое следующим образом. Вектор у’ = (у', у ..., y'J лексикографически больше вектора у' = (у" у" у") тогда и только тогда, когда выполнено какое-либо одно из следующих условий:

Нетрудно понять, что любые два вектора пространства Rm либо равны друг другу, либо один из них лексикографически больше другого вектора.

Рассмотрим задачу многокритериального выбора, включающую множество возможных решений X, векторный критерий /вида (8.1) и отношение предпочтения > х. Поскольку отношение предпочтения задается на парах возможных решений, то, как нетрудно понять, оно представляет собой некоторое бинарное отношение.

Предположим, что ЛПР в процессе выбора ведет себя «разумно», и обсудим требования, которым в таком случае должно удовлетворять его бинарное отношение предпочтения.

Напомним, что отношение предпочтения ух является отношением строгого предпочтения в том смысле, что выполнение соотношения х >х х невозможно ни для какого решения х е X, поскольку ни одно решение не может быть строго предпочтительнее самого себя. В терминах рассмотренных бинарных отношений это означает, что отношение предпочтения должно быть иррефлексивным. Тем самым далее при изучении задач принятия решений будут рассматриваться только такие отношения предпочтения, на которые наложено требование иррефлексивности.

Рассмотрим ситуацию, когда одно решение предпочтительнее второго, а оно, в свою очередь, предпочтительнее некоторого третьего решения. В таком положении ЛПР при сравнении первого и третьего решения всегда выберет первое. Здесь происходит примерно то же самое, что и при сравнении чисел с помощью отношения строгого неравенства. Например, если 5>ЗиЗ>1,то непременно выполнено 5 > 1. В терминах возможных решений это свойство может быть сформулировано следующим образом: для любой тройки возможных решений х х", х”' из выполнения соотношений х' > х х", и х" >х х'" обязательно следует справедливость соотношения х' >х х'”. На языке бинарных отношений это означает, что отношение предпочтения, используемое в задачах многокритериального выбора, должно быть подчинено требованию транзитивности.

В соответствии с приведенными рассуждениями сформулируем условие (требование), которому должны удовлетворять все рассматриваемые в данной книге бинарные отношения предпочтения: отношение предпочтения >-* , которым ЛПР руководствуется в процессе выбора, представляет собой строгий порядок, т.е. является иррефлексивным и транзитивным.

На основании доказанного выше отношение предпочтения, удов- летворящее данному требованию, обязательно будет асимметричным.

Технически удобным средством описания предпочтений ЛПР является функция ценности (полезности). Действительная функция и, заданная на множестве X и представляющая отношение строгого порядка, называется функцией полезности (ценности), если она монотонна, т.е. Vx',x* е X и(х') > и(х") <^> х'>х х" ? Функция ценности является качественным критерием: она определена с точностью до произвольного возрастающего преобразования. Принятие решений сводится к задаче, в которой принципом выбора является максимизация полезности.

Если заданное предпочтение не представимо функцией полезности (не является, например, иррефлексивным или транзитивным), то максимизация полезности не может служить принципом выбора. Само же предпочтение, очевидно, является достаточной основой выбора, несмотря на нетранзитивность или другие его недостатки, если наиболее предпочитаемая альтернатива существует.

Предположим, что предпочтение неизвестно, но известен оптимальный выбор ЛПР: для каждого Z из некоторого семейства 3 подмножеств X задано множество r(Z) с Z наиболее предпочитаемых в Z решений. Пусть 3 — некоторое семейство подмножеств множества X. Отображение г 3 X, r(Z) с Z называется функцией выбора.

Если ставить вопрос о том, как по функции выбора восстановить предпочтение индивида, т.е. решать задачу обратную задаче принятия решений, то обязательно сталкиваемся с некоторыми принципами рациональности самих функций выбора. Функция выбора г выглядела бы странно, если, согласно ей, ЛПР из трех элементов {х, у, z} будет выбирать х, а из двух элементов {х, у} — не х, а у; или если оно будет выбирать х из {х, у}, у из {у, z}, a z из {х, у, z}-

Решение задачи многокритериального выбора заключается в отыскании множества выбираемых решений SeLY, поэтому выясним, каким образом сведения об отношении предпочтения могут быть использованы в процессе решения задачи многокритериального выбора.

Рассмотрим два произвольных возможных решения х'их". Для них имеет место один и только один случай из следующих трех:

  • 1) справедливо соотношение х' > х х", а соотношение х" >х х' не выполняется;
  • 2) справедливо соотношение х" > х х а соотношение х' >х х" не выполняется;
  • 3) не выполняется ни соотношение х' >х х", ни соотношение

Заметим, что четвертый случай, когда оба участвующих здесь соотношения х' >х х" и х" >х х’ выполняются, невозможен благодаря асимметричности отношения предпочтения >- х.

В первом указанном выше случае, т.е. при выполнении соотношения х' >х х", говорят, что решение х' доминирует решение х" (по отношению >х). Во втором случае х" доминирует х'. Если же реализуется третий случай, то говорят, что решения х' и х" несравнимы по отношению предпочтения.

Пусть для некоторого возможного решения х"найдется такое возможное решение х', что выполнено соотношение х' >х х". По определению отношения предпочтения это означает, что из данной пары решений ЛПР выберет первое решение. Тогда второе решение х" не может быть выбранным из данной пары х" и х так как это означало бы выполнение соотношения х" >х х', противоречащего вместе с х' ух х" условию асимметричности отношения >-х. Сказанное в терминах множества выбираемых решений можно выразить в виде следующей эквивалентности х' >х х” <=> Sel {х', х") = {х'), х', х" е X.

Если второе решение х" не выбирается из пары в силу того, что для него в этой паре есть лучшее решение, то, рассматривая х" в пределах всего множества возможных решений X, разумно предположить, что решение х" в таком случае не может быть выбранным из всего множества возможных решений, так как для него в X существует по крайней мере одно заведомо более предпочтительное решение х'.

Приведенные рассуждения показывают, что при выборе первого решения из пары х', х" естественно считать, что второе решение не может оказаться выбранным и из всего множества возможных решений X. Тем самым всюду далее будет предполагаться выполненным следующее требование, которое выразим в виде следующей аксиомы.

Аксиома 8.1 (исключение доминируемых решений). Если для некоторой пары решений х х"е Химеет место соотношение х' >-* х",

Tox"eSelZ.

В аксиоме 8.1 участвует не только отношение предпочтения >-х , которым руководствуется ЛПР в процессе принятия решений, но и множество SelX. Это означает, что данное требование следует рассматривать как определенное ограничение на множество выбираемых решений. А именно любое множество выбираемых решений не должно содержать ни одного такого решения, для которого может найтись более предпочтительное решение. Более точно и полно этот факт будет выражен далее в лемме 8.1.

Нетрудно привести простой содержательный пример, в котором аксиома исключения не выполняется. Рассмотрим задачу выбора из трех возможных претендентов на два вакантных места. Считается, что оба вакантных места обязательно должны быть заполнены. Предположим, что при сравнении претендентов выяснилось, что первый является предпочтительнее второго и третьего, а второй предпочтительнее третьего. Поскольку, согласно условию, из трех кандидатов обязательно следует выбрать двоих, то, очевидно, ими окажутся первый и второй. Таким образом, второй претендент из пары первых двух не выбирается, тем не менее из всего множества трех возможных претендентов он оказывается выбранным. Следовательно, аксиома исключения доминируемых решений в этом примере нарушается.

В соответствии с аксиомой 8.1 любое доминируемое решение следует исключать из списка решений, претендующих на роль выбираемых. Исключение всех доминируемых решений приводит к множеству недоминируемых решений.

Множество недоминируемых решений обозначается NdomX и определяется равенством NdomX = {х'еХ ЗхеХ, что х >х **}•

Таким образом, NdomX представляет собой определенное подмножество множества возможных решений X. В зависимости от вида множествах и конкретного типа отношения предпочтения >х множество недоминируемых решений может быть пустым (т.е. не содержать ни одного решения), состоять в точности из одного решения, содержать некоторое конечное число решений, состоять из бесконечного числа решений.

Лемма 8Л. Для любого непустого множества выбираемых решений SelX, удовлетворяющего аксиоме 8.1, справедливо включение:

Доказательство. Если предположить, что включение (8.3) для некоторого непустого множества SelX не имеет места, то среди элементов этого множества найдется решение х"е SelX, для которого выполнено соотношение х”й NdomX. Тогда, по определению множества недоминируемых решений, существует такое решение х'еХ, чтох' ух х". Отсюда, используя аксиому 8.1, получаем х"чХ. Это противоречит начальному предположению о том, что х" — выбранное решение. Лемма доказана.

Замечание. В формулировке леммы 8.1 утверждается, что включение (8.3) выполняется для произвольного непустого множества выбираемых решений. Если SelX = 0, то включение (8.3) также имеет место, поскольку, как принято в теории множеств, пустое множество содержится в качестве подмножества в любом множестве. Поэтому условие непустоты множества выбираемых решений в формулировке леммы 8.1 можно было бы опустить; при этом справедливость рассматриваемой леммы не нарушается. Но тогда при доказательстве следовало бы специально оговаривать этот «вырожденный» случай, который с практической точки зрения интереса не представляет (если нет выбора, то и нет смысла изучать законы такого выбора). По этой причине здесь и всюду далее в подобных ситуациях, когда речь пойдет о включениях, содержащих множество выбираемых решений (или множество выбираемых векторов), мы будем подчеркивать непустоту этих множеств, чтобы сразу исключить из рассмотрения бессодержательные с практической точки зрения случаи.

Включение (8.3) устанавливает, что для достаточно широкого класса задач (а именно для тех задач, для которых выполнена аксиома 8.1) выбор решений следует производить только среди недоминируемых решений. Кроме того, поскольку все последующие требования (аксиомы), предъявляемые к рассматриваемому здесь классу задач многокритериального выбора, как мы увидим далее, не содержат множества выбираемых решений (и выбираемых векторов), включение (8.3) показывает, что выбранным может оказаться любое подмножество множества недоминируемых решений.

Когда SeLT 0 и множество недоминируемых решений состоит из единственного элемента, задача выбора в принципе решена, поскольку это единственное недоминируемое решение, в силу (8.3), является выбираемым решением и остается только найти его. Заметим, что подобного рода ситуации в практике встречаются крайне редко. Чаще всего тех сведений, которые имеются об отношении предпочтения, оказывается недостаточно не только для нахождения множества выбираемых решений, но и для построения множества недоминируемых решений.

Тем не менее даже неполные, фрагментарные сведения об отношении предпочтения ЛПР позволяют из всего множества возможных решений исключить доминируемые решения (как заведомо непригодные для выбора) и тем самым упростить последующий выбор. Наряду с множеством недоминируемых решений удобно ввести в рассмотрение множество недоминируемых векторов (недоминируемых оценок):

Для введенного множества недоминируемых векторов аксиому 8.1 и лемму 8.1 можно переформулировать следующим образом.

Аксиома 8.2 (исключение доминируемых векторов). Если для некоторой пары векторов у', у"е Yвыполнено соотношение у' >Y у", то/'eSelE

Лемма 8.2 (в терминах оценок). Для любого непустого множества выбираемых векторов Sel Y, удовлетворяющего аксиоме 8.2, справедливо включение SelKcNdomK.

Вопрос построения множества недоминируемых решений и (или) векторов представляется чрезвычайно сложным, однако для конечного множества возможных решений X (множества возможных векторов Y) он решается достаточно просто. Итак, пусть множество возможных решений X состоит из конечного числа элементов, а отношение предпочтения является иррефлексивным и транзитивным. Для построения множества недоминируемых решений NdomAT прежде всего следует перенумеровать все возможные решения. Пусть, например, Х= Х = {*1, Х2, ..., х„}.

Первый шаг алгоритма нахождения множества недоминируемых решений заключается в последовательном сравнении первого решения xi со всеми остальными хг, ..., х„. Это сравнение заключается в проверке справедливости соотношенияxi >~х х, и соотношениях, >х х при каждом / = 2, ..., п. В случае истинности для некоторого i первого соотношения xi > х хь доминируемое решение х, следует удалить из множества Xi и продолжить указанную проверку для следующего за х, решения. При выполнении второго соотношения х,- х удалению подлежит первое решение х, после чего сразу же следует перейти ко второму шагу. Если же ни одно из двух приведенных соотношений xi >х х, их, >х х не является истинным, ничего удалять не нужно. В том случае, когда сравнения решения xi были проведены со всеми остальными решениями хг, ..., х„, и ни для какого / = 2, ..., п не оказалось выполненным соотношение х, >~х xi, первое решение следует запомнить как недоминируемое и удалить его из (оставшегося) множества возможных решений. Указанные действия описывают первый шаг алгоритма.

Если после выполнения первого шага во множестве возможных решений не осталось ни одного решения (т.е. все оказались удаленными), то алгоритм заканчивает работу. При этом в памяти будет храниться одно недоминируемое решение х. Оно и представляет собой множество недоминируемых решений. В противном случае (т.е. когда не все решения оказались удаленными) необходимо перейти ко второму шагу.

Обозначим множество, оставшееся после выполнения первого шага Хг.

Второй шаг полностью аналогичен первому. А именно сначала нужно перенумеровать элементы множества Хг. После этого следует провести последовательное сравнение первого решения этого множества со всеми остальными его элементами. При этом сравнение осуществляется совершенно аналогично тому, как это было описано на первом шаге. Выполнение сравнений на втором шаге либо закончится удалением первого решения множества Хг, как доминируемого, либо такого удаления не произойдет. Во втором случае это решение следует запомнить как недоминируемое, а затем удалить его из множества Хг. Если после этого во множестве возможных решений не останется ни одного решения, то вычисления заканчиваются; в памяти будет храниться множество недоминируемых решений. В противном случае к оставшемуся непустому множеству возможных решений нужно применить аналогичный третий шаг алгоритма и т.д. В результате после окончания работы алгоритма в памяти будет храниться множество всех недоминируемых решений NdomAf.

На каждом шаге алгоритма происходит удаление по крайней мере одного возможного решения. Следовательно, после выполнения некоторого конечного числа шагов будут удалены все возможные решения, кроме некоторого одного, и алгоритм закончит свою работу, так как оставшееся решение не с чем будет сравнивать, потому оно также будет недоминируемым. Это рассуждение доказывает конечность приведенного алгоритма.

Применение описанного алгоритма к произвольному конечному множеству возможных решений за конечное число шагов приведет к отысканию по крайней мере одного недоминируемого решения. Действительно, недоминируемым запоминается лишь первое решение из множества, которое участвует в выполнении очередного шага алгоритма. Если на всех предыдущих шагах (кроме последнего) не было выявлено ни одного недоминируемого решения, то таковым должно быть последнее решение, поскольку его не может доминировать ни одно из всех остальных возможных решений. Тем самым получен следующий результат.

Теорема 8.1. Пусть множество возможных решений X (множество возможных векторов Y) состоит из конечного числа элементов. Если отношение предпочтения >х является иррефлексивным и транзитивным, то множество возможных решений (векторов) содержит хотя бы одно недоминируемое решение (один недоминируемый вектор), т.е. NdomT^ 0 (NdomT^ 0).

Чаще всего в практических задачах выбора отношение предпочтения задано лишь частично либо вообще не задано и его следует построить прежде, чем приступать к решению задачи. В таких случаях схему приведенного выше алгоритма можно использовать для опроса ЛПР с целью выявления его отношения предпочтения и одновременного построения множества недоминируемых решений. Для этого ЛПР сначала предлагают выбрать предпочтительное решение из каждой пары, содержащей первое решение. При этом доминируемые решения, по мере их выявления, сразу же удаляются. Далее для сравнения предлагаются все пары, содержащие первое решение из множества, оставшегося после первого шага, и т.д. Кроме того, необходимо отметить, что схема приведенного выше алгоритма может быть использована для построения множества Парето.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >