МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ СРЕДСТВА ПОДДЕРЖКИ ПРИНЯТИЯ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ

Математическая постановка задачи принятия решений

Как уже говорилось, основным инструментом теории принятия решений являются математические модели. Несмотря на их большое разнообразие, существуют важнейшие элементы, которые присутствуют практически во всех моделях. Так, в любой деятельности для достижения поставленной цели ЛПР должно иметь некоторый запас ресурсов (например, минеральное сырье, техническое оборудование, деньги, рабочую силу, вычислительную технику). В математической модели исследуемой системы или процесса соответствующий элемент принято называть активными средствами. Действия, направленные на достижение поставленной цели, представляют собой способы использования активных средств. Соответствующий элемент математической модели называют стратегией и обычно обозначают переменной х. В разных разделах теории принятия решений стратегию называют планом, решением, альтернативой, но подразумевают одно — алгоритм поведения (правило выбора решения) в зависимости от имеющейся информации и наличных ресурсов. Переменная х может быть скалярной величиной, вектором или функцией. Стратегии являются факторами, влияющими на ход операции, контролируемыми ЛПР, т.е. выбираемыми ею по своему усмотрению. Кроме них, существуют неконтролируемые факторы, влияющие на ход операции, которыми ЛПР не распоряжается, например, природные условия. Неконтролируемые факторы будем обозначать переменной у. Общее описание модели должно включать также сведения об информированности ЛПР об обстановке, в которой осуществляется функционирование системы или процесса, т.е. о значениях неконтролируемых факторов. Значит, информация — это совокупность данных о значениях неконтролируемых факторов.

Неконтролируемые факторы, исходя из информированности о них ЛПР, можно разбить на три группы:

• ? фиксированные;
• ? случайные;
• ? неопределенные.

Фиксированные неконтролируемые факторы — это такие факторы, значения которых точно известны ЛПР. Случайные неконтролируемые факторы представляют собой случайные величины, законы (функции) распределения которых точно известны ЛПР. Неопределенные неконтролируемые факторы являются детерминированными или случайными величинами, относительно которых ЛПР известна лишь область возможных значений или класс возможных законов распределения.

Ход операции можно описать некоторым набором фазовых переменных. Степень соответствия хода операции поставленной цели в математической модели характеризуется критерием эффективности W, который представляет собой некоторую функцию (в общем случае — вектор-функцию), зависящую от фазовых переменных, стратегий и неконтролируемых факторов. Синонимы критерия эффективности — функция полезности, функция выигрыша, целевая функция. В математической модели эквивалентом цели функционирования является, как правило, требование максимизации критерия эффективности.

Существует много различных классификаций математических моделей, о которых уже говорилось выше. По одной из основных классификаций модели делят на динамические, в которых явно присутствует переменная времени, и статические, в которых этой переменной нет. В реальности все процессы протекают во времени, поэтому динамические модели, вообще говоря, более точно описывают действительность. Для проведения исследования часто ограничиваются простыми статическими моделями. При этом стратегию и воздействие неконтролируемых факторов представляют в виде единичного акта, фазовые переменные исключают, и критерий эффективности представляют как функцию только стратегий и неконтролируемых факторов:

Переход от динамической формы модели к статической называется нормализацией. Фактически, в ходе исследования, можно сразу строить статическую модель, минуя динамическую. Несмотря на внешнюю простоту выражения (4.1), связь между значениями критерия, стратегии и неконтролируемого фактора может быть весьма сложной. Иногда ее не удается представить в явном виде, тогда она задается с помощью промежуточных соотношений или в виде вычислительного алгоритма.

С учетом сказанного, получаем математический объект {W, х, у}, где хеХ — множество (пространство) допустимых стратегий, ye Y — множество значений неконтролируемых факторов. Он называется статической (нормальной) формой математической модели. При этом пространство стратегий X определяется ограничениями по имеющимся ресурсам, информации и действующим институтам. Институты — это созданные людьми рамки (нормы, правила), которые структурируют политические, экономические, социальные взаимодействия (например, американское или английское правило кредитования).

Содержательно всякая задача принятия решений является оптимизационной, т.е. состоит в выборе среди некоторого множества допустимых решений тех решений, которые можно в том или ином смысле квалифицировать как оптимальные. При этом допустимость каждого решения понимается в смысле возможности его фактического осуществления, а оптимальность — в смысле его целесообразности. Допустимость того или иного решения определяется возможностью реализации соответствующих действий при имеющихся ресурсах. Ограниченность ресурсов выражается в виде математических ограничений, чаще всего имеющих вид равенств и неравенств. Оптимальность, целесообразность решения предполагает наличие в каждой задаче принятия решений некоторой системы целей, описываемых критериями эффективности, и принципа оптимальности (иногда называемого критерием оптимальности).

Формально принципом оптимальности ло называется отображение множества всех допустимых стратегий X в некоторое его подмножество, определяемое как множество оптимальных стратегий {х⁰}:

Чаще всего оно определяется требованием максимизации (или минимизации) одной или нескольких числовых функций (критериев эффективности), значения которых выражают степень осуществления целей при соответствующем допустимом решении. Иногда эффективность определяется отношением предпочтения, когда применительно к парам допустимых решений указывается, какое из решений этой пары предпочтительней.

С целью иллюстрации основных понятий теории принятия решений и составляющих элементов математических моделей систем или процессов рассмотрим пример построения модели для содержательной задачи.

Пример 4.1. Планирование производства. Предприятие производит продукцию двух типов. В процессе производства каждой продукции используются исходные материалы трех видов, наличные запасы которых заданы. Известны также количества материалов, необходимых для производства единицы продукции каждого типа, и доход от ее реализации. Требуется составить такой план производства, чтобы доход от продажи продукции был максимальным. Здесь ЛПР — руководство предприятия; цель — максимизация дохода от продажи выпущенной продукции; принятие решения для ЛПР состоит в определении объемов выпуска каждого из двух типов продукции; возможности ЛПР ограничены имеющимися ресурсами.

После выявления важнейших факторов нужно проанализировать все переменные и данные модели: какие параметры известны (заданы), какие параметры являются неизвестными величинами, какими из параметров мы можем управлять (управляемые или контролируемые), а какими нет (неуправляемые или неконтролируемые параметры).

В нашем примере известными являются следующие параметры: запасы имеющихся ресурсов (материалов) bj каждого видаj,j =1,2, 3; количество щ материала вида j, необходимого для производства продукции типа /, / = 1, 2,у = 1, 2, 3; доход с, от продажи единицы изделия типа /, * = 1,2. Все эти параметры являются неконтролируемыми факторами, но так как они заданы точно, то это фиксированные неконтролируемые факторы. Искомыми являются объемы выпуска двух типов продукции. Эти два параметра можно считать управляемыми (стратегией), так как ЛПР само определяет их величину (исходя из реальных условий).

Введем обозначения неизвестных параметров задачи: х, — объем выпуска продукции типа /, / = 1, 2. Тогда критерий эффективности, представляющий собой доход от продажи всей продукции, равен сХ + 0X2, а необходимое для производства продукции количество материала вида j есть а ixi + 02X2 (/=1,2, 3). Теперь задачу можно сформулировать математически:

Принцип оптимальности л« представляет собой отображение множества всех допустимых стратегий X в его подмножество таких стратегий, которые доставляют максимум функции дохода.

Для построения математической модели исследуемой системы или процесса в общем случае рекомендуется выполнить следующую последовательность работ:

• ? изучение условия задачи и определение важнейших факторов;
• ? выявление управляемых и неуправляемых факторов;
• ? анализ информации о значениях параметров и дополнение условий задачи недостающими сведениями;
• ? составление математической модели (математическое выражение целевых функции, соотношений и связей между параметрами);
• ? определение критерия (принципа) оптимальности (в общем случае весьма нетривиальный и ответственный этап) и формулировка задачи.