Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Техника arrow Инженерная графика
Посмотреть оригинал

Случай пересечения поверхностей вращения с плоскостью

Цилиндр и конус — самые простые геометрические тела, образованные линейчатыми поверхностями вращения. На практике при проектировании различных архитектурных сооружений, конструкций и деталей часто встречаются другие поверхности вращения и приходится решать задачу определения и построения линий пересечения таких поверхностей плоскостью. При пересечении любой кривой поверхности, в том числе поверхности вращения, получающаяся линия пересечения (линия среза) является плоской кривой. Построить плоскую кривую — значит определить отдельные ее точки, а затем соединить их плавной кривой. Линии пересечения линейчатых и нелинейчатых поверхностей вращения плоскостью строятся по-разному.

Способ построения линии пересечения линейчатой поверхности плоскостью проще и состоит в следующем: о выбирают последовательный ряд прямолинейных образующих; о строят точки их пересечения с плоскостью; о полученные точки соединяют плавной линией и получают линию среза (линия пересечения поверхности плоскостью).

Если секущая плоскость является плоскостью частного положения (проецирующей или дважды проецирующей), то задача построения линии среза упрощается, так как одна из проекций сечения совпадает со следом секущей плоскости (как было видно на примерах цилиндра и конуса).

Рис. 8.8

Способ построения линии среза нелинейчатой поверхности вращения:

о применяют вспомогательное построение: сначала строят вспомогательные секущие плоскости так, чтобы линии их пересечения с секущей плоскостью были прямыми, а с поверхностью вращения — имели простую форму; о определяют точки пересечения линий, по которым вспомогательные плоскости пересекают поверхность вращения и секущую плоскость, соединяют точки пересечения и получают искомую линию среза.

Пусть нелинейчатая поверхность вращения, образованная произвольной кривой, пересекает плоскость (рис. 8.8). Если соединить точки пересечения этой плоскости и поверхности вращения, то получается трапеция ABCD. Вспомогательные плоскости будут удовлетворять приведенным выше требованиям, если расположить их параллельно горизонтальной плоскости проекций (перпендикулярно оси вращения). В этом случае линией пересечения вспомогательной плоскости с данной нелинейчатой поверхностью вращения является окружность, а с заданной секущей плоскостью — прямая линия. Таких вспомогательных плоскостей можно провести сколько угодно, и чем их больше, тем точнее строится линия среза.

Рис. 8.9

На примере одной вспомогательной плоскости покажем, как определяются точки искомой линии среза. Пусть при пересечении вспомогательной горизонтальной плоскости и поверхности вращения получается параллель — окружность радиусом 0"1", а при пересечении этой плоскости и заданной секущей плоскости — горизонталь А'В'. Пересечение этой окружности и линии A'D' дает точки М' и N', которые должны принадлежать искомой линии среза. С помощью линий связи находятся точки М" и N". Таким образом, определены две точки, принадлежащие линии среза. Выполнив те же действия с несколькими другими вспомогательными плоскостями, получают еще ряд точек, принадлежащих искомой линии среза. Соединение построенных точек плавными кривыми формирует искомую линию среза.

Если плоскость пересекает сферическую поверхность, то линия среза всегда имеет форму окружности (сечение — круг), которая проецируется либо прямой, либо окружностью, либо эллипсом в зависимости от положения плоскости.

Линии пересечения тора плоскостью строятся по общему правилу. Но если секущая плоскость расположена перпендикулярно или параллельно оси тора, то в сечении получаются определенные линии. Например, для открытого тора (кругового кольца) в случае, если секущая плоскость перпендикулярна оси тора, сечение имеет форму кольца. Если секущая плоскость параллельна оси тора, то сечение получается в форме одной из кривых Пергея (кривых четвертого порядка), показанных на рис. 8.9. Здесь / — расстояние секущей плоскости до оси тора; г, R — соответствующие радиусы.

В общем случае плоскость, пересекающая тело вращения, может располагаться в пространстве как угодно, образуя при этом совершенно разные линии среза. Линии среза при пересечении тел, образованных поверхностями вращения, могут иметь следующие формы:

о при пересечении цилиндра — окружность, прямоугольник, эллипс;

о при пересечении конуса — треугольник, окружность, эллипс, парабола, гипербола;

о при пересечении однополостного гиперболоида — окружность, эллипс, парабола, гипербола, две прямые;

о при пересечении шара — окружности разных диаметров;

о при пересечении тора — окружности, алгебраические кривые четвертого порядка (кривые Пергея).

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

  • 1. Как строится линия пересечения призмы или пирамиды плоскостью?
  • 2. Какие линии получаются при пересечении призмы плоскостью? Какую форму имеют сечения?
  • 3. Какие линии получаются при пересечении пирамиды плоскостью? Какую форму имеют сечения?
  • 4. Какую форму имеют линии пересечения прямого кругового цилиндра плоскостью?
  • 5. В каком случае сечение прямого кругового цилиндра, имеющее форму эллипса, проецируется окружностью?
  • 6. Какую форму имеют линии пересечения прямого кругового конуса плоскостью?
  • 7. Как расположить секущую плоскость, чтобы линия среза конуса имела форму треугольника?
  • 8. В чем суть способа построения линии пересечения линейчатой поверхности плоскостью?
  • 9. Как выполняется построение линии среза нелинейчатой поверхности вращения при пересечении ее плоскостью?
  • 10. Какие линии получаются при пересечении открытого кругового тора плоскостью, перпендикулярной его оси?
 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы