Обработка результатов измерений, содержащих случайные погрешности

На практике приходится довольствоваться ограниченным числом измерений для оценки истинного значения измеряемой величины и точности измерения. Если число измерений велико (более 100), то кривую распределения можно построить достаточно точно. Если она соответствует нормальному закону, то графически определяется математическое ожидание тх и среднее квадратическое отклонение о. Результаты измерений х, х2...хп делят на 10—20 интервалов и записывают в виде статистического ряда (табл. 5.2).

Таблица 5.2

Результаты измерений

Ах,

Дх2

Ах

п

ГП.

mi

т2

т

п

р.

?!

?2

р

п

Примечание, m. — число результатов в интервале, Р — вычисленная вероятность попадания в данный интервал.

Статистический ряд служит основой для построения гистограммы и статистической функции распределения (рис. 5.6).

Построение гистограммы и статистической функции распределения по опытным данным

Рис. 5.6. Построение гистограммы и статистической функции распределения по опытным данным:

Ах — принятый интервал; Р; Р — вероятность попадания в интервалы 1 и 2 соответственно; ht — ордината функции распределения в точке 1

При Дх-Ф гистограмма переходит в плавную кривую.

Соответствие полученной кривой закону нормального распределения проверяют по критериям Пирсона или Холмогорова.

При количестве измерений менее 15 принадлежность экспериментального распределения к нормальному не проверяется.

При обработке результатов ограниченного числа наблюдений в качестве оценки математического ожидания принимается среднее арифметическое результатов наблюдений:

Приближенное значение среднего квадратического отклонения в этом случае вычисляется по формуле

Появление в знаменателе выражения (п — 1) вместо п связано с заменой математического ожидания средним арифметическим незначительного числа наблюдений.

Среднее арифметическое отличается от математического ожидания на величину случайной погрешности (погрешность среднего значения), которая подчиняется тому же закону распределения, что и погрешности результатов отдельных измерений.

Дисперсия среднего арифметического вычисляется по формуле

а среднее квадратическое среднего арифметического — по формуле

при увеличении числа измерений х-^тх и о~-> 0.

Границы доверительного интервала, в котором с заданной вероятностью (обеспеченностью) находится случайная погрешность среднего арифметического, определяют по формуле

При числе наблюдений п > 20 значения коэффициента t определяют по таблицам функции Лапласа (см. табл. 5.1), а при п < 20 — по таблицам функции Стьюдента (табл. 5.3, 5.4)

Зная число наблюдений п и задавшись доверительной вероятностью Р, можно найти по табл. 5.3 значение t и, умножив его на о х , определить границы доверительного интервала. В тех случаях, когда требуется определить доверительную вероятность при заданном t, удобнее пользоваться табл. 5.4.

Значения коэффициента t при количестве наблюдений п от двух до 20 и заданной доверительной вероятности Р

Таблица 5.3

П

Доверительная вероятность Р

1

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0,95

0,98

0,99

0,995

0,999

2

1,00

1,38

1,96

3,08

6,31

12,71

31,80

63,70

127,3

637,2

3

0,82

1,06

1,34

1,89

2,92

4,30

6,96

9,92

14,1

31,60

4

0,76

0,98

1,25

1,64

2,35

3,18

4,54

5,84

7,50

12,94

5

0,74

0,94

1,19

1,53

2,13

2,77

3,75

4,60

5,60

8,61

п

Доверительная вероятность Р

6

0,73

0,92

1,16

1,48

2,02

2,57

3,36

4,03

4,77

6,86

7

0,72

0,91

1,13

1,44

1,94

2,45

3,14

3,71

4,32

5,96

8

0,71

0,90

1,12

1,42

1,90

2,36

3,00

3,50

4,03

5,40

9

0,71

0,89

1,11

1,40

1,86

2,31

2,90

3,36

3,83

5,04

10

0,70

0,88

1,11 1,38

1,83

2,26

2,82

3,25

3,69

4,78

11

0,70

0,88

1,09

1,37

1,81

2,23

2,76

3,17

3,58

4,59

12

0,70

0,88

1,09

1,36

1,80

2,20

2,72

3,11

3,50

4,49

13

0,70

0,87

1,08

1,36

1,78

2,18

2,68

3,06

3,43

4,32

14

0,69

0,87

1,08

1,35

1,77

2,16

2,65

3,01

3,37

4,22

15

0,69

0,87

1,08

1,34

1,76

2,14

2,62

2,98

3,33

4,14

16

0,69

0,87

1,07

1,34

1,75

2,13

2,60

2,95

3,29

4,07

17

0,69

0,86

1,07

1,34

1,75

2,12

2,58

2,92

3,25

4,02

18

0,69

0,86

1,07

1,33

1,74

2,11

2,57

2,90

3,22

3,96

19

0,69

0,86

1,07

1,33

1,73

2,10

2,55

2,88

3,20

3,92

20

0,69

0,86

1,07

1,33

1,73

2,09

2,54

2,86

3,17

3,88

СЮ

0,67

0,84

1,04

1,28

1,64

1,96

2,33

2,58

2,81

3,29

Таблица 5.4

Значения функции Стьюдента для интервалов t= 2 — 3,5 О^ при числе измерений п от двух до 20

п

Коэффициент t

П

Коэффициент t

2,0

2,5

3,0

3,5

2,0

2,5

3,0

3,5

2

0,705

0,758

0,795

0,823

12

0,929

0,970

0,988

0,995

3

0,816

0,870

0,905

0,928

13

0,931

0,972

0,989

0,996

4

0,861

0,912

0,942

0,961

14

0,933

0,974

0,990

0,996

5

0,884

0,933

0,960

0,975

15

0,935

0,974

0,990

0,996

6

0,898

0,946

0,970

0,983

16

0,936

0,975

0,991

0,997

7

0,908

0,953

0,976

0,987

17

0,937

0,976

0,992

0,997

8

0,914

0,959

0,980

0,990

18

0,938

0,977

0,992

0,997

9

0,919

0,963

0,983

0,992

19

0,939

0,978

0,992

0,997

10

0,923

0,966

0,985 0,993

20

0,940

0,978

0,993

0,997

11

0,927

0,969

0,987

0,994

СЮ

0,955

0,988

0,997

0,9995

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >