Текущий и мгновенный спектры

Текущий спектр

Определяя спектр сигнала, мы имеем дело с парой преобразований Фурье [12]

В этих формулах обращает на себя внимание то, что время t и круговая частота со входят в них симметричным образом, на равных началах. Иными словами, формулы могут быть сделаны совершенно симметричными, если, изменив определения, разнести множитель 1/2тг на оба интеграла (т.е. ввести в обеих формулах множитель ), как часто и делают

Из полной симметрии формул следует дуальность преобразования Фурье, достаточно только переменную t заменить переменной со.

По основному определению спектральная плотность S(a>выражается формулой

Для нахождения спектра необходимо выполнить интегрирование по времени в бесконечных пределах. Это возможно в принципе, если функция s(t) задана и известна на всей бесконечной оси времени. Но если s(t) есть отображение некоторого реального физического процесса и если весь ход этого процесса не может быть в точности предсказан на основании теоретических соображений, то сведения о функции s(t) могут быть получены лишь в результате наблюдений. Поэтому интегрирование можно выполнять не в бесконечных пределах, а лишь до настоящего, текущего момента времени.

Всё прошлое в принципе может быть известно, так что интегрирование может быть выполнено в пределах от -оо до текущего времени /. Изменённое таким образом определение спектра принимает вид

Величина S/co), являющаяся функцией не только частоты, но и времени, носит название текущего спектра.

В действительных условиях наблюдение процесса (или самый процесс) фактически может начинаться в некоторый момент to, находящийся в прошлом на конечном удалении от текущего момента t. В этом случае момент t₀ может быть принят за начало отсчёта времени, и текущий спектр может быть определён следующим образом

В дальнейшем мы будем пользоваться определениями текущего спектра.

Как уже говорилось, периодические сигналы определяются соотношением

Периодическая функция есть математическая абстракция, хоть и очень полезная. Надо иметь в виду, что не существует никакой реальный физический процесс, отвечающий определению (2.42). Всякий действительный процесс имеет начало и конец, и, следовательно, описывается выражением (2.42) лишь на протяжении конечного промежутка времени. Мы называем действительный циклически повторяющийся процесс периодическим, если этот процесс длится достаточно долго.

Мерилом длительности служит «число периодов»; длительность велика, если число периодов много больше единицы. Если же взять короткий отрезок процесса, то он вовсе не будет иметь периодического характера. Периодичность проявляется не сразу, а лишь с течением времени обрисовываются характерные черты процесса. Текущий спектр как раз и выражает со спектральной точки зрения это развитие процесса.

Спектр короткого отрезка процесса - за небольшое время от его начала - однороден, так как короткий отрезок любого процесса есть просто короткий импульс. Если в дальнейшем происходит периодическое повторение некоторого цикла явления, то на текущем спектре начинают сформировываться максимумы на основной частоте и её гармониках. Эти максимумы становятся всё более острыми и вссокими, а значение спектральной плотности в интервалах между масимумами всё убывает и лишь в пределе при t —> оо, сплошной текущий спектр вырождается в линейчатый спектр периодического в строгом смысле процесса.

При достаточно больших длительностях процесса максимумы делаются настолько узкими, что их можно уже трактовать, практически, как линии. Однако это не умаляет принципиального значения всего сказанного - периодический процесс есть лишь предел, к которому может стремиться с течением времени реально повторяющийся процесс.

Рисунок 2.16 поясняет понятие «текущий спектр синусоиды».

Рис. 2.16. Текущий спектр синусоиды

По горизонтальной оси, лежащей в плоскости рисунка, отложено отношение частот co/Q (Q - частота синусоиды), по оси ординат - спектральная плотность, по горизонтальной оси, направленной от наблюдателя, - число полупериодов синусоиды. Это число, очевидно, пропорционально времени. Рис. 2.16 ясно показывает, что вначале спектр однороден; лишь постепенно формируется максимум на частоте Q. Этот максимум с течением времени становится всё более и более острым и лишь при t —> оо фигура превращается в дискретную спектральную линию.