Линейные и нелинейные модели

Как было указано в главе 1, временной ряд является линейным процессом, если его можно представить следующим образом [1J,

где р - математическое ожидание X,; ipi - действительные числа с р0 = 1; {а,} - последовательность независимых и идентично

распределенных (iid) случайных величин.

Допустим, что распределение а, является непрерывным и Е(а,) =0. Далее примем, что Var (at) = сг| или даже более сильное допущение о том, что а, являются гауссовыми. Если , то X, - слабо стационарный процесс (первые два момента - инвариантны по времени). Любой случайный процесс, который не удовлетворяет условию (9.1), можно считать нелинейным.

Прежнее определение нелинейности является справедливым для чисто стохастического временного ряда. Это определение может быть расширено допущением о том, что среднее значение X, будет линейной функцией некоторых экзогенных переменных, включая временной индекс и отдельные периодические функции. Математически модель стохастического ВР для X, есть функция от //^/-последовательности, состоящей из текущего и прошлых значений помехи, т.е.

Линейная модель в уравнении (9.1) определяет, что / (...) есть линейная функция своих аргументов. Любая нелинейность в / (...) свидетельствует в пользу нелинейной модели. Общая нелинейная модель в уравнении (9.2) не является непосредственно применимой, так как она содержит достаточно много параметров.

Запишем модель X, через ее условные моменты. Примем, что F, .1 определяет собой a-поле[1], создаваемое доступной информацией в момент (t - 1). Обычно F, обозначает набор линейных комбинаций элементов {I, .ь I, ,2,...} и {а, а,.2,...}.

Условные среднее и дисперсия X, равны

где g (...), /?(...) хорошо определенные функции с /?(...) > 0.

Таким образом, ограничиваем модель до значения

где 8, = а, /о, - стандартизированная помеха.

Для линейного BP X, в выражении (9.1), g (...) является линейной функцией элементов F,. и /?(...). Разработка нелинейных моделей включает расширение двух уравнений в выражении (9.3). Если функция g (...) - нелинейна, то процесс X, считают

нелинейным по среднему. Если функция h{...) - вариативна по времени, то X, - нелинейный по дисперсии.

Однако необходимо отметить [2J, что при рассмотрении нелинейных моделей не существует явного консенсуса относительно понятия линейных стохастических рядов, и, следовательно, нет единого мнения по поводу того, что подразумевается под нелинейной моделью. В основном, термин "общая линейная модель" используется для описания модели, линейной по параметрам, но она также может включать в себя нелинейные функции объясняющих переменных.

Простым, но важным инструментом для выявления нелинейности является тщательный визуальный осмотр графика ВР. Такие признаки, как асимметричное поведение и изменяющаяся дисперсия служат характеристиками нелинейности ряда. Однако на практике бывает трудно провести различие между данными из:

  • • нелинейной модели;
  • • линейной модели с нормально распределенной помехой, к которой добавлены выбросы;
  • • линейного процесса с искажениями, которые не являются нормально распределенными.

Еще более осложняет дело процесс скользящего среднего, который безусловно является линейным процессом, но фактически рассматривается как нелинейный по параметрам в том случае, когда ошибки при прогнозировании на один шаг вперед, полученные методом наименьших квадратов, являются нелинейными функциями параметров. Это означает, что точные аналитические формулы для оценок недоступны, поэтому в [3] Бокс и Дженкинс использовали термин "нелинейное оценивание" для описания процедуры

минимизации суммы квадратов. Здесь рассматривается использование термина "нелинейный" применительно к моделям и методам

прогнозирования.

Наиболее очевидным примером линейной модели является общий линейный процесс, который возникает в ситуации, когда значение временного ряда, например, X, можно выразить в виде линейной функции настоящего и прошлых значений чисто случайного процесса а, . Этот класс моделей включает в себя процессы авторегрессии AR, скользящего среднего МА и модели ARM А. Линейность процесса становится очевидной, когда модель рассматривается как линейная система для преобразования последовательности а, в последовательности X,.

Для нестационарной модели AR1MA положение с нелинейностью не столь очевидное. Вследствие нестационарности такие модели не могут быть выражены в виде линейного процесса, но они подобны линейным в других отношениях. Осложнение вызвано тем, что имеются модели, которые являются локально линейными, но и глобально нелинейными. Таким образом, вместо того, чтобы точно определить линейность и нелинейность, может быть более плодотворным признать, что необходимо постепенно переходить от линейности к нелинейности.

Ситуация в отношении линейности более ясная в методах прогнозирования. В методе линейного прогнозирования на h шагов вперед предсказание в момент времени N может быть выражено в виде линейной функции наблюдаемых значений до момента времени N. Например, такая ситуация имеет место при экспоненциальном сглаживании и сглаживании методом Хольта-Винера. Это также относится к минимальной среднеквадратической ошибке (minimum mean square error - MMSE), когда прогнозы формируются из стационарной модели ARMA с известными параметрами. Однако нужно отметить, что при оценке параметров модели на основе данных (как это обычно бывает), ошибки MMSE прогнозов не будут линейными функциями прошлых данных.

Вследствие указанных причин появляется возможность определить линейную модель как модель, для которой ошибки MMSE являются линейными функциями наблюдаемых данных. Тем не менее, это является необходимым условием, но недостаточным, потому что некоторые модели формируют линейные правила предсказания несмотря на существование явных нелинейных свойств в других отношениях.

Отдельные формы белого шума, как правило, являются неотъемлемым элементом нелинейных моделей, но можно убедиться в том, как важно проводить различие между независимым и некоррелированным шумами. Ранее белый шум (или чисто случайный процесс) был определен как последовательность некоррелированных, одинаково распределенных случайных величин. Иногда его называют некоррелированным белым шумом (uncorrelated white noise - UWN), чтобы отличить его от строгого белого шума {strict white noise - SWN), когда последовательные значения принимаются независимыми. Тем не менее, при нелинейных моделях распределения обычно не являются нормальными, и нулевая корреляция не означает независимость. Несмотря на то, что процесс UWN обладает известными свойствами второго порядка (постоянная средняя величина и нулевые автокорреляции), не определены нелинейные свойства таких рядов. В частности, если {X,} может быть процессом UWN, то ряд квадратов наблюдений [Xf] не обязательно описывается этим процессом.

  • [1] Множество F с двумя бинарными операциями + (сложение) и(умножение) называется полем, если оно образует коммутативнуюгруппу по сложению, все его ненулевые элементы образуюткоммутативную группу по умножению, и выполняется свойстводистрибутивности.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >