Аналитические методы теории массового обслуживания

Рассмотрим простейшие аналитические методы теории массового обслуживания, применяемые в СМО с отказами, в которых требования, поступившие в момент, когда все обслуживающие каналы заняты, покидают систему. Подобную СМО можно описать следующим образом.

  • 1. Система состоит из п обслуживающих каналов, причем каждый из каналов может одновременно обслуживать только одно требование.
  • 2. В систему поступает простейший (пуассоновский) поток требований с параметром X, означающим математическое ожидание числа требований в единицу времени. Для простейшего потока частота поступления требований в систему подчиняется закону Пуассона. Согласно этому закону, вероятность поступления за время t равно к требований, определяется по формуле

Простейший поток обладает тремя основными свойствами: ординарностью, стационарностью и отсутствием последействия. Ординарность потока означает невозможность одновременного поступления на обслуживание нескольких требований. Стационарным называется поток, для которого параметр X не меняется во времени. Отсутствие последействия означает, что количество поступающих на обслуживание требований не зависит от предыстории процесса.

3. Время обслуживания требования также является случайной величиной и описывается законом распределения. В практических приложениях большое распространение получил показательный закон распределения, имеющий следующий вид:

где v — параметр показательного закона распределения, обратный среднему времени обслуживания требования v = 1/ 7об.

Основное свойство показательного закона состоит в том, что если промежуток времени, распределенный по показательному закону, уже длится некоторое время, то это никак не влияет на закон распределения оставшейся части заданного промежутка. Такие СМО могут быть в тех случаях, в которых обслуживание состоит в ряде попыток, каждая из которых приводит к цели с определенной вероятностью. Например, это обслуживание неисправностей некоторых технических устройств, когда поиск неисправностей осуществляется рядом попыток.

Отметим, что для некоторых СМО время обслуживания требования может быть распределено и по другим законам распределения, к примеру по нормальному закону распределения, либо вообще быть неслучайной величиной.

Итак, пусть имеется я-канальная СМО с отказами. Счетное множество ее состояний отображено на рис. 8.16. Схема возможных переходов системы из одного состояния в другое показана в виде стрелок.

Схема возможных состояний и переходов системы

Рис. 8.16. Схема возможных состояний и переходов системы

Эти состояния могут быть представлены следующим образом:

Требуется определить вероятности р^ состояний СМО для простейшего потока требований с плотностью X, если время обслуживания требования также является случайной величиной и описывается показательным законом распределения с параметром

Для описанных выше СМО расчет основных характеристик, т.е. определение вероятностей состояния (занятости) каналов обслуживанием требований при установившемся (стационарном) режиме работы, дают формулы Эрланга.

К этой системе уравнений необходимо добавить условие полной группы событий:

Подобную систему уравнений можно решить относительно 0, рх, Р2,..., рп}? Например, из первого уравнения можно получить

Из второго уравнения имеем:

Согласно формулам Эрланга, вероятность того, что обслуживанием требований будут заняты ровно к каналов, можно определить как:

Введем обозначение

где величина а определяет среднее количество требований, приходящихся на среднее время обслуживания одного требования /об.

Тогда с учетом приведенного обозначения формулы Эрланга принимают следующий вид

где р0 — вероятность того, что все обслуживающие каналы будут свободны.

Эту вероятность можно определить из условия полной группы событий:

Характеристики эффективности системы определяются следующим образом. Вероятность отказа в обслуживании требований равна вероятности того, что все каналы заняты, т.е.

Вероятность того, что требование будет обслужено, может быть определена как вероятность противоположного события:

Среднее число требований, обслуживаемых в единицу времени или пропускную способность системы можно определить как

Среднее число занятых каналов можно определить как

Формулы Эрланга выведены для показательного закона распределения времени обслуживания требований. Однако, если входной поток является простейшим, то, как показывают исследования, эти формулы могут быть справедливы для любого закона распределения времени обслуживания. Кроме того, формулы Эрланга приближенно могут быть использованы и в том случае, когда СМО допускает ожидание требований в очереди. Однако в этом случае срок ожидания должен быть мал по сравнению со средним временем обслуживания одного требования.

Представим расчет приведенных выше характеристик на примере мастерской бытового обслуживания населения, рассматривая ее как СМО.

В мастерской работают два мастера. Среднее время обслуживания одного клиента составляет 12 мин. Получаемый доход от обслуживания одного клиента — 60 руб., а издержки на содержание одного рабочего места — 120 руб/ч. В мастерскую заходят в среднем девять потенциальных клиентов в час.

Требуется определить: характеристики эффективности работы мастерской; полученный доход за час работы; эффективность работы мастерской, если в ней будут работать три мастера; выгодно ли принять на работу третьего мастера с точки зрения общего дохода.

Итак, имеется количество каналов п - 2, поток требований с интенсивностью X - 9, обслуживаемых с интенсивностью v = 5. Определим характеристики эффективности работы мастерской, считая ее СМО.

Вероятность отказа в обслуживании требований равна:

Вероятность того, что требование будет обслужено, равна:

Среднее число требований, обслуживаемых в единицу времени (час), равно:

Среднее число занятых каналов равно:

Средний доход двух мастеров за один час работы составит:

В таблице приведен расчет с использованием MS Excel характеристик эффективности работы мастерской какСМО. В ячейки {А 1, В1, С1} вводятся соответственно значения п - 2 = 9, v = 5. В ячейке D1 рассчитывается значение а, а в ячейках {А2, В2, С2, АЗ, ВЗ} по приведенным выше формулам — значения финальных вероятностей СМО. В ячейке D3 приводится расчет среднего дохода двух мастеров D2 за один час работы.

В нижеприведенной таблице с использованием MS Excel приведен аналогичный расчет характеристик эффективности работы мастерской как СМО, но для трех мастеров.

Приведенные расчеты показывают, что прием на работу третьего мастера экономически нецелесообразен, так как

Получаемый при этом прирост дохода не компенсирует издержки на содержание еще одного рабочего места.

 
Посмотреть оригинал