МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАСЧЕТА ТАРИФНЫХ СТАВОК

Особенности расчета тарифных ставок по страхованию жизни.

Основными факторами, оказывающими непосредственное влияние на методику расчета тарифных ставок по страхованию жизни, являются следующие:

• 1) объектом договора по данному виду страхования является жизнь, здоровье и трудоспособность граждан. Количественные показатели, характеризующие продолжительность жизни и смертность среди населения страны, централизованно собираются и обрабатываются в органах демографической статистики. На основе полученных данных составляются таблицы смертности, которые используются страховщиками при расчете тарифных ставок по страхованию жизни. При их оценке используются методы теории вероятности и статистики;
• 2) договоры страхования жизни заключаются, как правило, на длительный срок. Чтобы учесть изменение стоимости страховых фондов за этот период, при построении тарифных ставок используются методы долгосрочных финансовых исчислений, в частности дисконтирование.

Размер нетто-ставки страхового взноса по страхованию жизни зависит от следующих факторов:

• — возраста и пола страхователя на момент вступления договора страхования в силу либо застрахованного лица, если договор страхования заключается о страховании третьего лица;
• — вида, размера и срока выплаты страхового обеспечения;
• — срока и периода уплаты страховых взносов;
• — срока действия договора страхования;
• — планируемой нормы доходности от инвестирования средств страховых резервов по страхованию жизни, принятой при расчете.

Основными материалами для расчета тарифных ставок являются таблицы смертности и средней продолжительности жизни. В расчетах применяются следующие показатели и условия:

1) показатель вероятности умереть в течение определенного года жизни

где q_x — вероятность умереть в возрасте х лет;

d_x — число умирающих при переходе от возраста х к возрасту х + 1 лет;

• 1_Х — число доживающих до возраста х лет;
• 2) вероятность дожития до определенного возраста

где Р_х — вероятность дожить до возраста х лет.

Так как страховщик использует полученные страховые взносы как кредитные ресурсы, получая определенный доход, то при расчете тарифной ставки учитывается норма доходности (процентная ставка) — i. Для уменьшения нарастающих процентов на сумму страховых взносов заранее проводится дисконтирование:

где V^х — дисконтирующий множитель; i — норма доходности; п — время оборота суммы, лет.

С учетом этого единовременная ставка по страхованию на дожитие имеет вид:

где _пЕ_х — единовременная нетто-ставка по страхованию на дожитие для лица в возрасте х лет, при сроке страхования п лет;

I.x+n — число лиц, доживших до окончания срока страхования;

1_Х — число лиц, заключивших договоры в возрасте х лет;

V” — дисконтирующий множитель;

S — страховая сумма.

Например, при страховании лица в возрасте 40 лет на срок 5 лет со страховой суммой 100 ден.ед. при норме доходности в 3% единовременная нетто-ставка будет равна (табл. 4.2):

Фрагмент таблиц смертности и коммутационных чисел

Таблица 4.2

Единовременная нетто-ставка на случай смерти:

где — единовременная нетто-ставка по страхованию на случай смерти для

лица в возрасте х лет сроком на п лет;

— число умирающих в течении срока страхования.

В нашем примере единовременная нетто-ставка на случай смерти равна:

Единовременная нетто-ставка по страхованию ренты предполагает выплату застрахованному лицу в установленные сроки определенного регулярного дохода.

Если предстоящие платежи равны между собой и производятся ежегодно в течении п лет в начале каждого года, то такой ряд платежей называется немедленной временной рентой, уплачиваемой вперед — пренумерандо (praenumerando); если платежи производятся в конце каждого года, то такой ряд платежей называется немедленной временной рентой, уплачиваемой за истекшее время — постнумерандо (postnumerando).

где w^ax — единовременная нетто-ставка по страхованию пожизненной ренты (пенсии) — пренумерандо;

— современная (капитализированная) стоимость финансовых обязательств страховщика, относящихся ко всем 1_Х лицам (при размере ежегодной ренты 1 ден. ед.); w — предельный возраст таблицы смертности.

На практике рассчитываются также отсроченные ренты — ежегодные платежи, выплата которых начинается не с первого года страхования, а по истечении ряда лет, и вечные ренты — ежегодные платежи которые не прекращаются.

Рента может выплачиваться пожизненно, в течение определенного ряда лет, в начале или в конце каждого страхового года.

где _па_х — единовременная нетто-ставка по страхованию ренты в течении п лет — пренумерандо или

_па_х — единовременная нетто-ставка по страхованию ренты в течении п лет — постнумерандо.

Для унификации актуарных расчетов применяются специальные технические показатели — коммутационные числа (лат. commutatio — изменение, перемена):

Применяя коммутационные числа, формулу единовременной нет- то-ставки по дожитию можно записать как:

В нашем примере единовременная нетто-ставка на дожитие равна:

₅Е₄₀ = 23 968 / 28 388 х 100 = 84,40 ден. ед.

Единовременная нетто-ставка пожизненного страхования на случай смерти:

и т.п.

Договор страхования жизни может предусматривать различные варианты рассроченной ежегодной уплаты взносов, которые могут быть классифицированы по различным признакам. Так, по продолжительности уплаты взносов их принято делить на взносы, уплачиваемые пожизненно, и взносы, уплаченные в течение определенного периода времени.

По соотношению между началом уплаты взносов и началом действия договора страхования принято различать взносы, немедленно начинающиеся, и взносы, уплата которых отсрочена. В зависимости от числа выплат на протяжении года взносы бывают годовыми, полугодовыми, месячными и исчисляются с помощью коэффициентов рассрочки (аннуитетов).

где _пР_х — годичный взнос;

_nEd_x — единовременный взнос; _па_х — коэффициент рассрочки.

Коэффициент рассрочки (рента — постнумерандо или пренумерандо) представляет собой стоимость взносов в размере 1 ден. ед., производимых в течении определенного срока в конце или начале каждого страхового года.

Абсолютные значения коэффициентов рассрочки близки к значению п лет страхования, но несколько ниже его, в результате размеры годичных ставок получаются более высокими, чем при простом делении единовременной ставки на количество лет страхования. Таким путем нивелируются потери на процентах и учитывается постепенное уменьшение числа лиц, уплачивающих взносы.

Аналогичным путем определяются нетто-ставки по другим видам страхования жизни с разными вариантами по уплате страховых взносов и выплате страховых сумм, срокам страхования и нормам доходности, коэффициентам рассрочки (аннуитетам) и т.д.

Для организации эффективной страховой защиты необходимо

учитывать множество финансовых и общих экономических параметров. Основными являются страховые параметры: премия, сумма и т.п. Рассмотрим порядок расчета страхового тарифа, т.е. той части от страховой стоимости, которую необходимо взять с потенциального страхователя.

Расчет оптимальной ставки рассмотрим на примере страхования жизни, подобный порядок может быть использован в тех случаях, когда известно количество потенциальных страхователей. Заметим, что при организации имущественного страхования также необходимо знать страховую стоимость объекта страхования.

Итак, пусть известно число потенциальных страхователей. Это число разбито на группы по следующему принципу (табл. 4.3).

Таблица 4.3

Фрагмент таблицы смертности городского населения РФ на 2004—2005 гг. по группам 100 тыс. женщин (w) и 100 тыс. мужчин (т)

Параметр l_w(x) — число доживших до определенного возраста х женщин. 1_т(х) — число доживших до определенного возраста х мужчин. Основу вычислений составляет функция распределения продолжительности жизни для всех новорожденных F(x) = Р{Т<х}, параметр Т — случайная величина, характеризующая возраст на момент смерти. Также рассматривают функцию выживания S(x) = 1 - F(x) = 1 - Р{Т < х} = = Р{Т > х). В любых таблицах, используемых для практических нужд, должен быть верхний и нижний пределы. Нижним пределом является нулевой возраст. Верхней границей — «граничный возраст» со, удовлетворяющий условию 0<Г<со<°° — любой человек живет больше нуля лет и меньше граничного возраста, т.е. любой человек смертен. Для вычислений вводят обозначения tPx — вероятность того, что человек возраста х проживет еще более t лет, тогда tQx = 1 - tPx — обозначает вероятность того, что человек возраста х не проживет более t лет. Будем использовать классическое понятие оценки вероятности Р_х = п_х / N(x) — как отношение количества конкретных (условных) исходов ко всему множеству исходов (объему выборки). С учетом введенных обозначений:

по аналогии,

Рассмотрим несколько базовых примеров расчета вероятности.

1. Найти вероятность того, что мужчина 26 лет доживет до 76 лет (данные табл. 3.3). Расчет:

2. Обратная задача: рассчитать вероятность того, что мужчина 26 лет умрет в 76 лет. Расчет:

3. Рассчитать вероятность того, что мужчина 2 лет умрет в возрастном интервале от 28 до 76 лет. Расчет: используют классическую оценку вероятности:

В общем случае тарифную ставку рассматривают как Брутто-ставка = Нетто-ставка + Нагрузка.

Мы определим оптимальную нетто-ставку как плату за страховую услугу, без учета сопутствующих расходов (страховой нагрузки), причем оптимальную ставку будем определять с учетом доходности, так как любой страховщик размещает накопленный страховой фонд под определенную доходность. Страховой фонд будем понимать как накопленный за счет премий капитал, его необходимо разместить наиболее выгодным способом, чтобы обеспечить будущие выплаты. Таблицы смертности (число потенциальных страхователей) служат основой для расчета тарифных ставок по договорам долгосрочного страхования жизни.

Если страховщик заключил договор на страхование жизни (дожития) с мужчиной возраста х на п лет, тогда число выплат по группе потенциальных страхователей составит 1(х + п). Выплата по страхованию жизни Vj = Sj — страхование происходит по полной сумме обеспечения (риск смерти неделим и обеспечивается на всю стоимость ответственности страховщика). Тогда совокупная выплата составит S = s х 1(х + п). Страховщик размещает накопленные средства под доходность i, используя дисконтный множитель, определим текущий размер страхового фонда (РСФ), РСФ = S/ (1 + г)” — такими средствами должен располагать страховщик, чтобы обеспечивать договора на срок п лет с лицами возраста х по группе потенциальных страхователей. Сумму РСФ необходимо собрать со страхователей, т.е. каждый страхователь возраста х внесет единовременную нетто-ставку, предполагающую уплату в начале срока страхования _пЕ_х = РСФ / 1(х + п).

Пример. Страховщик заключил договор с мужчиной 26 лет на страхование жизни (дожития) на два года. Определить единовременную ставку, если страховая сумма S = 2000 руб. Страховщик имеет возможность разместить накопленные средства под доходность I = 10%.

По таблице 4.3 1_т(26) = 93 817, /_т(26 + 2) = 92 978, тогда страховщик через 2 года должен обладать средствами S = s X 4,(28) -2 X 92 978 = = 185 956 тыс. руб. Текущий объем средств (РСФ) с учетом установленной доходности должен быть

руб., тогда единовременный тариф должен составлять

Особенности расчета тарифных ставок по видам страхования иным, чем страхование жизни. Страхуемые объекты по видам страхования иным, чем страхование жизни, как правило, имеют различную степень риска. В этом случае применение к ним общей нетто-став- ки несправедливо и может иметь целый ряд негативных последствий для страховщика. Следовательно, даже в рамках одного вида для страхования разных объектов необходимо иметь некоторое множество тарифных ставок. Процесс определения совокупности тарифных ставок и условий их применения носит название тарификация страхового продукта. В качестве основных этапов тарификации можно выделить построение тарификационной системы и собственно расчет тарифных ставок.

В наиболее общем виде тарификационная система выглядит следующим образом. Все страхуемые объекты делятся на несколько достаточно крупных категорий. Для каждой категории рассчитывается базовая тарифная ставка. Кроме того, приводится список всех факторов риска, которые страховщик хочет отразить в своей системе. Наличие или отсутствие каждого фактора на страхуемом объекте учитываются при расчете тарифа с помощью поправочных коэффициентов. Существует много видов поправочных коэффициентов: умножаемые, прибавляемые (вычитаемые), складываемые и т.д. Выбор необходимого вида коэффициента осуществляется страховщиком при создании тарификационной системы и зависит от его предпочтений и характера влияния фактора на риск.

Порядок использования тарификационной системы. При заключении договора страхования прежде всего определяется принадлежность страхуемого объекта к тарификационной группе. В соответствии с группой выбирается исходная (базовая) тарифная ставка. Затем отмечается наличие или отсутствие на объекте учитываемых факторов риска. По таблице находят значения поправочных коэффициентов, соответствующих данной ситуации. Найденные коэффициенты применяются к базовой тарифной ставке.

Выделяют несколько причин разработки тарификационных систем, деления страхуемых объектов на группы с учетом различных факторов риска в отличие от использования одной средней тарифной ставки.

1. Экономический (технический аспект) тарификации. Создание подробной тарификационной системы обеспечивает формирование страхового фонда в размере, достаточном для выполнения страховщиком своих обязательств и обеспечивающем заданную финансовую устойчивость, чего нельзя добиться при использовании только единой средней тарифной ставки.

Так, если существуют две группы застрахованных объектов с минимальными и максимальными вероятностями наступления страхового случая, то при использовании усредненной тарифной ставки может произойти превышение выплат над собранными нетто-премиями и, как следствие, разорение страховщика. Последнее становится возможным в силу того, что были застрахованы объекты из второй группы (с максимальной вероятностью, для которых усредненная величина страховой премии оказалась выгодной), первая группа застрахованных объектов использовала другие методы защиты, например самострахование (для них усредненная величина страховой премии оказалась высокой).

• 2. Коммерческий аспект тарификации. Антиселекция риска. Наряду с установлением при помощи тарификационной системы ценовой политики, что является одним из средств конкурентной борьбы, тарифы в страховании играют роль инструмента селекции рисков. Под селекцией рисков понимается отбор страховщиком с помощью различных методов выгодных для себя договоров страхования и отторжение опасных рисков. При этом речь идет не только и не столько об отказе от принятия на страхование опасных рисков, сколько о создании для них невыгодных условий договора страхования, в частности размеров страховой премии. Антиселекция, т.е. отбор неблагоприятных для данного страховщика рисков, может происходить не только вследствие ошибок в тарификации страховых продуктов, но и из-за непродуманных условий страхования, отсутствия ограничений на принятие в страхование опасных рисков, неправильной политики в области продаж страховых услуг и т.д.
• 3. Мотивационный аспект. При применении тарификационной системы, учитывающей различные факторы риска, страхователь непосредственно может выбирать ту или иную тарификационную группу со ссылкой на поправочные коэффициенты. Так, если для страхователя выгоднее провести и (или) соблюдать некоторые предупредительные мероприятия (например, установка сигнализации на машину или ее хранение на охраняемой стоянке в ночное время), в отличие от дополнительной переплаты страховой премии, то у него появляется мотивация для перехода в другую тарификационную группу.

При определении тарифов для видов страхования иных, чем страхование жизни, можно воспользоваться методикой расчета тарифных ставок по рисковым видам страхования, в соответствии с которой нетто-ставка рассчитывается по формуле

где Т₀ — основная часть нетто-ставки, которая определяется как:

где 5_В — среднее возмещение;

S — средняя страховая сумма; q — вероятность наступления страхового случая;

Г_р — рисковая надбавка. Рассчитывается по формуле:

где N — число договоров страхования;

R_B — среднеквадратическое отклонение среднего возмещения;

oc(y) — гарантия безопасности. Величина а называется квантилем нормального распределения, определяется по таблице функции Ф(а).

Ниже приведена таблица значений а для часто используемых значений гарантии безопасности у (табл. 4.4).

В структуре нетто-ставки выделяются основная часть и рисковая надбавка. Сумма основных частей нетто-ставки обеспечивает 50%-ную гарантию неразорения страховщика, оставшиеся (у - 50) проценты покрывает рисковая надбавка.

Таблица 4.4

Значения показателей гарантии безопасности

Необходимо помнить о существовании небольшой вероятности, что собранных нетто-премий не хватит на все выплаты, так как величина гарантии безопасности всегда меньше 100%.

Приведенная формула применима с учетом того, что:

• — существует большое число однородных независимых застрахованных рисков;
• — разброс страховых сумм по всем застрахованным рискам невелик;
• — все договоры заключаются на одинаковый срок;
• — по одному договору может произойти не более одного страхового случая.

Расчет тарифных ставок производится по группам страхуемых объектов в соответствии с разработанной тарификационной системой. В результате этого расчета страховщик получает для каждой группы базовые тарифные нетто- и брутто-ставки. Точность оценки тарифной ставки зависит от объема и достоверности данных, получаемых в процессе разработки и проведения этого вида страхования.

Согласно приведенной формуле нетто-ставки ее основная часть рассчитывается как отношение суммы выплат по закончившимся договорам данного вида к совокупной страховой сумме по этим договорам. В страховании такое отношение называется показателем убыточности страховой суммы, что отражает «физический» смысл основной части нетто-ставки и страховых тарифов вообще. Поскольку значение убыточности с течением времени может колебаться, то дополнительно создается запас средств для покрытия возможных отклонений показателя убыточности от расчетного значения за счет введения в нет- то-ставку рисковой надбавки.

Убыточность страховой суммы — синтетический показатель, включающий в себя самостоятельные экономические показатели, характеризующие различные стороны воздействия страховых случаев на застрахованные объекты. Введем условные обозначения: а — число страховых объектов; с — страховая сумма застрахованных объектов; I — число страховых случаев; d — число пострадавших объектов; b — сумма страхового возмещения; q — показатель убыточности страховой суммы. С учетом введенных обозначений, факторы, влияющие на убыточность страховой суммы, выражаются в следующих показателях:

• 1) частота (частность) страховых случаев (обычно на 100 страхований): I/а, характеризует коэффициент (процент) горимости строений, аварийности средств транспорта и т.д.
• 2) опустошительность страхового случая: d/I, определяет среднее число объектов, погибших или пострадавших от одного страхового случая;
• 3) коэффициент кумуляции показывает, какие объекты по своей стоимости (более или менее ценные по сравнению со средним застрахованным объектом) преобладают среди поврежденных или уничтоженных; при частичном повреждении объектов он свидетельствует о средней степени повреждения одного объекта, при полном уничтожении — о гибели в среднем более или менее крупных рисков по сравнению с их средней страховой оценкой по всему страховому портфелю: b c/d; а.

Произведение трех указанных элементов дает синтетический показатель убыточности страховой суммы.

Особенности расчета тарифных ставок при подготовке нового страхового продукта. При подготовке нового вида страхования страховая компания не имеет данных относительно вероятности и ожидаемой величины ущерба, что заставляет страховщиков использовать внешние источники информации. Например, при подготовке страхования автомобилей необходимые сведения о частоте и тяжести дорожных происшествий можно получить в управлениях государственной инспекции безопасности дорожного движения, для огневого страхования требуемые показатели могут быть рассчитаны на основе информации управлений государственной пожарной службы и т.д. Однако, как правило, этих данных бывает недостаточно для оценки параметров величины выплат страховых сумм, в связи с чем возникает необходимость упростить рассмотренную выше методику расчета.

В «Методике расчета тарифных ставок по рисковым видам страхования» приводятся рекомендации относительно выбора величины отношения средней выплаты к средней страховой сумме. В частности, при страховании средств наземного транспорта значение данного отношения следует принимать не ниже 0,4, при страховании от несчастных случаев и болезней его величина не должна быть ниже 0,3. Однако необходимо отметить, что такой способ оценки приблизительный, поскольку соотношение выплат и страховых сумм в значительной степени зависит от вида риска и условий договора страхования, касающихся выплат возмещения.

Еще одна особенность связана с определением рисковой надбавки. Поскольку страховщик не располагает данными относительно среднеквадратического отклонения страховых выплат R_B, то используется упрощенная приблизительная формула для расчета рисковой надбавки:

Так как страховщик не заключил ни одного договора страхования, то в этой формуле в качестве N принимается прогнозируемое число договоров данного вида.

4.3

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ СТРАХОВЩИКА

Пусть страховщик обеспечивает риски страхователя, тогда деятельность страховщика представляет собой рисковый процесс (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Динамика изменения страхового результата (рисковый процесс)

На рисунке 4.1 по горизонтали отложено время, соответствующее времени (интервалу времени) деятельности страховщика, по вертикали — сумма накопленных денег (страховой портфель) как функция времени, т.е. первоначальные резервы (остаток страхового портфеля прошлого периода) плюс собранные страховые премии минус страховые возмещения. Вид этой линии определяется следующими элементами:

R₀ — начальные резервы (остаток прошлого периода);

Р — страховая премия;

t_P — момент времени поступления премии;

V — страховая выплата (возмещение);

t_v — момент времени произведенной выплаты.

Рисковый процесс отображает изменение состояния страховщика (деловой результат страховщика).

Также будем рассматривать величины Т_х, Т₂,..., Т_п, где T_t?, = t_{ + 1 - t_x — разность между двумя следующими друг за другом событиями, и величину N(t) — количество событий на отрезке времени [0, t. Тогда формально уравнение, характеризующее результат деятельности страховщика, может быть записано:

При моделировании деятельности страховщика необходимо учитывать и другие варианты. Ясно, что «активный» страховщик в своей деятельности сталкивается с различными механизмами обращения средств, причем эти механизмы могут быть как «чисто» страховыми, так и смешанными инвестиционными, банковскими и т.п. Рассмотрим несколько частных случаев вычисления «страхового результата».

Итог страховщика с учетом реализации пропорциональной схемы страхования (все договора перестраховываются в одной пропорции):

где Р — долевая часть премий, отданная в перестрахование. Заметим, что в простой схеме страхования «один страхователь — один страховщик» страховщик в фиксированный момент времени — момент заключения договора, обладает только суммой, полученной от страхователя, страховой премией (Р). Следовательно, только какую-то ее часть (Р) он может отдать в уплату по договору цессии, если она вообще требуется.

Уравнение переписывают следующим образом:

где— комплексный убыток, включающий естественные потери от

выплат и долю перестрахования. Считается, что на любой момент времени страховщик располагает ресурсами преодоления

«страхового кризиса» — когда R( Т) < 0, например за счет заемных средств.

Рассматривая понятие деловой защиты, страховщик имеет право организовать регрессный иск, т.е. возвратить часть выплат, тогда:

Полученный страховщиком регресс увеличивает страховой результат.

Выделяют некоторые условия, которые позволяют оценить уровень страховщика:

— текущая ответственность страховщика должна быть

— фатальный исход страховщика V_t = S_t]

— нормальный исход

На практике либо неявно предполагается, либо явно утверждается, что размеры интервалов между страховыми случаями Т_{ и размеры отдельных страховых возмещений V_{ не влияют друг на друга, т.е. предполагается, что Т и V рассматриваются как полностью независимые случайные величины. Предполагается, что Т_{ и V_t есть последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин.

Будем характеризовать модель страхования элементами:

[Р; t_P (или Тр, или iVp); V; t_v (или T_v, или N_v)].

Каждый из элементов характеризуется парой величин (а, (3), где а g {s, d};

s — случайная величина (stochastic);

d — детерминированная величина (determinate);

a g {с, d}

с — непрерывная величина (continions);

d (или п) — дискретная величина (discret или non-continions).

Также можно ввести другие элементы, которые могут нас интересовать и могут быть получены из ранее рассмотренных элементов:

— суммарные выплаты (совокупный убыток);

— финансовый результат в момент времени t.

Нас будет интересовать вероятность неразорения страховой компании, т.е. P{Rt > 0}. Рассмотрим общепринятую модель страхования. Опишем ее в обозначениях, введенных нами ранее, т.е.

Считается, что:

• — премии Р поступают непрерывно и линейно (Р = Ct)
• — размер выплат V является независимой одинаково распределенной случайной величиной непрерывного типа, V] е Р^х);
• — моменты времени выплат t_v являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами непрерывного типа, t_v е F_tv(x) (количество событий N(t) на интервале времени (0, t) будет являться случайной величиной дискретного типа). Также предполагается, что V_t и TVj независимы.

Данную модель будем называть классической моделью страхования. Вероятность неразорения рассчитывается следующим образом:

Определенно, и вид и вывод формулы для Z_t довольно сложны, так как Z_t является суммой случайных величин со случайным числом слагаемых.

Численный расчет вероятности неразорения, т.е. значений распределения FZ(x), может быть сделан различными способами. В настоящее время ЭВМ имеют достаточные быстродействие и объемы памяти, чтобы вычислять FZ(x) прямым численным интегрированием и суммированием с заданной степенью точности.

Исходя из классической модели, можно строить новые модели, изменяя основные предположения как в сторону упрощения, так и в сторону усложнения либо обобщая какие-либо начальные данные, либо наоборот, конкретизируя их.

Приведем примеры некоторых моделей страхования.

1. Полностью детерминированные модели

либо с дискретным временем

Модели такого рода имеют малую практическую ценность, однако могут применяться для предварительного анализа данных.

2. Модель Эрланга.

Предполагаем, что случайные величины V_{ и 7У, имеют экспоненциальный закон распределения.

Тогда

Для изучения модели возможно привлечение методов теории массового обслуживания. Например, «задача Эрланга» возникла из практических нужд телефонии и была решена в начале XX в. датским математиком Эрлангом. В ней продолжительность телефонного разговора и время между вызовами распределены экспоненциально. Проводя аналогию между задачей Эрланга и нашей моделью, можно утверждать, что если T_v е ехр(Л) — экспоненциальное распределение, то N(t) е P₀(Xt) — число страховых событий на интервале [0, t распределено по закону Пуассона.

3. Модель со случайным размером выплат V.

Величины Р, Т_р и Т_у, следовательно, являются детерминированными.

или

Модель возникает, когда моменты выплат заранее известны — такая ситуация возникает, например, при обязательном (облигаторном) перестраховании, когда счета-бордеро приходят регулярно (раз в квартал или раз в месяц), а размер выплат неизвестен.

4. Модель с детерминированным временем

Она возникает как дальнейшее обобщение предыдущей модели.

Рассматривается обязательное страхование (облигаторное перестрахование), однако ни размер премий, ни размер выплат неизвестны.

5. Модель со случайным временем выплат:

В данной модели размер выплат фиксирован, случайны моменты их выплат. Может возникнуть при страховании однородной группы объектов от единственного риска (например, страхование спортсменов или туристов, риск — смерть). Часто поток страховых случаев принимается за пуассоновский, т.е. T_v е ехр(А,) или, что то же самое,

N(t) e P₀(Xt). Дальнейшим обобщением может быть модель со случайными потоками премий и выплат:

6. Модель с заданным законом поступления премии.

Предположение о постоянном и линейном поступлении премий может не соответствовать действительности, например это может быть вызвано сезонными колебаниями потока премий:

Наиболее простой случай — кусочно-линейный закон поступления премий.

То же самое можно предположить и о размерах выплат:

Меняя различные параметры классической модели, можно получить огромное количество вариантов моделей. Задача исследователя заключается в выборе модели, адекватной имеющей место ситуации, и вычислении интересующих нас характеристик.

Рассмотрим некоторые наиболее важные модели страхования. Описание основных величин, используемых в страховых моделях, будем производить, используя введенные обозначения. Самыми простыми моделями являются детерминированные модели.

Под детерминированными моделями страхования будем понимать модели, в которых все используемые величины не случайны, т.е. детерминированы (рис. 4.2). Следовательно, такие модели не носят вероятностный характер, а значит, необходимость в расчете вероятности неразорения отпадает. Отсутствие случайных величин в детерминированных моделях страхования позволяет легко рассчитывать финансовый результат страховой компании в любой момент времени или за отчетный период. На практике такие модели в чистом виде применяются редко, но к ним сводятся многие стохастические прикладные задачи, например расчет средних по показателю.

Рис. 4.2. Варианты реализации детерминированной модели страхования

Детерминированная модель с непрерывным поступлением премий и непрерывной выплатой возмещения:

Финансовый результат страховой компании будет рассчитываться по формуле

Очевидно, что при С_х > С₂, С > 0 и R(t) > 0 — денежный фонд возрастает, при С_х < С₂, С < 0 — компания некоторое время растрачивает свои первоначальные резервы R₀, а затем и вовсе в некоторый момент t разоряется

Рассмотрим детерминированную модель с непрерывным поступлением премий и постоянной выплатой возмещения:

Финансовый результат страховой компании будет рассчитываться по формуле

При С₂ > C_xt_x страховая компания в определенный момент времени разорится, если же C_xt_x > С₂, то будет получать стабильный доход.

Детерминированная модель с постоянным поступлением премий и постоянной выплатой возмещения:

Финансовый результат страховой компании будет рассчитываться по формуле

При С₂ > С_х страховая компания в определенный момент времени разорится, если же С_х > С₂, то она будет получать стабильный доход.

Более сложными в формализации являются модели страхования с величинами, носящими случайный характер. Модели страхования, в которых используются случайные величины, являются основными при моделировании вариантов деятельности страховщиков. Вся трудность описания таких моделей и результатов их исследования заключается в том, что все они носят вероятностный характер, так как страховой случай является случайной величиной. Поэтому при описании и исследованиях моделей необходимо использовать методы математической статистики.

Одна из задач актуария состоит в том, чтобы найти подходящее и реалистичное распределение вероятностей для T_v. Слова «подходящий» и «реалистичный» означают в данном случае, что выбранное распределение должно в некотором смысле оптимально соответствовать частотам, с которыми значения N = 0, 1, 2,... принимались переменной T_v в прошлом. Этот критерий, однако, не является достаточно точным для изменяющейся среды, где о будущем нельзя обычно судить по прошлому. Тем не менее найти наилучшее распределение или наилучшее значение параметра в заданном семействе распределений возможно лишь посредством каких-либо статистических процедур.

7. Модель страхования со случайными размерами платежей (рис. 4.3).

Рис. 4.3. Реализация рискового процесса по допускам модели со случайными размерами платежей

Финансовый результат страховой компании будет рассчитываться по формуле

В этом случае вероятность неразорения страховой компании будем вычислять следующим образом:

Математическое ожидание случайного процесса R(t) (финансового результата компании) есть то, что «ожидается в среднем за достаточно продолжительный промежуток времени» и будет равняться

Мы видим, что если ЕР > EV, то в среднем мы получаем прибыль.

Дисперсия измеряет флуктуации (разброс) количества страховых случаев относительно его среднего.

8. Модель страхования со случайным временем наступления страхового случая (рис. 4.4).

Финансовый результат страховой компании будет рассчитываться по формуле

Процесс характеризуется параметрами:

Рис. 4.4. Реализация рискового процесса. Модель страхования со случайным временем

Если Ne P₀(Xt), то , таким образом, вероятность неразорения будет равна

Математическое ожидание случайной величины равно Xt, математическое ожидание случайного процесса R(t):

Другая задача, которую приходится решать страховщикам, — это задача выбора проекта, риски по которому следует обеспечивать. Страховщик принимает под ответственность только те риски, реализация которых случайна, а потери по крайней мере не бесконечны.

Пример. Существует два проекта А и В, лицо, принимающее решение, имеет возможность вложить средства или взять их под ответственность. Предположим, что известны следующие статистические показатели: математическое ожидание (средняя величина) т_а и т_ъ

f Л

среднее _и дисперсии (среднеквадратические

V )

( Л

. Среднеквадратическое отклонение —

V ) определяется S_a, S_b.

С учетом этих выборочных характеристик возможны следующие варианты (соотношение статистик):

• 1) т_а = m_b, S_a< S_b — следует выбрать проект А;
• 2) т_а > m_b, S_a < S_b — следует выбрать проект А;
• 3) т_а> т_ь, S_a = S_b — следует выбрать проект А;
• 4) т_а > т_ъ, S_a > S_b,
• 5) т_а < т_ъ, S_a > S_b.

В случаях 1—3 выбирают проект А, так как меньшая дисперсия говорит о большей предсказуемости результата. В случае 4 — более высокая средняя прибыль А, но при этом проект более рискован. В случае 5 — более высокий риск и невысокая прибыль.

Пусть имеются два инвестиционных проекта: 1-й — с вероятностью р_{ = 0,6, обеспечивающий прибыль 15 млн руб. Однако с вероятностью р₂ = 0,4 можно потерять 5,5 млн руб.; 2-й — с вероятностью р_х = 0,8 можно получить прибыль 10 млн руб., с вероятностью р₂ = 0,2 можно потерять 6 млн руб.

Оба проекта имеют одинаковую среднюю прибыльность: Среднеквадратическое отклонение:

— для

1-го проекта;

— для 2-го проекта.

Более предпочтителен 2-й проект.

Здесь не учтена природа риска. К примеру, если мы анализируем риск разорение (убыточность), то тогда необходимо учитывать начальный капитал (исходный). Потери страховщика будут тем весомее, чем весомее будут потери по проекту — реализуемые риски страхователя.

АО предполагаются два рисковых проекта:

Учитывая, что фирма имеет долг 80 уел. ед., определить, какой проект лучше.

1) Вычислим статистические показатели — средневзвешенные величины:

2) Среднеквадратическое отклонение:

3) Рассчитаем коэффициент вариации, который даст оценку рис- ковости по проектам:

аналогично

Проект 1 при средней прибыльности, равной 50 уел. ед., обладает более чем в 7 раз меньшей рискованностью. Если руководствоваться классической теорией вероятностей, а конкретно — предельной теоремой, то с вероятностью 0,997 возможные выигрыши и платежи будут

находиться в интервале В нашем случае выигрыши будут следующими: для проекта 1 интервал (31,03; 68,97), для проекта 2 (-84,16; 184,16). Другими словами, проект 1 даже при максимальной выгоде не покроет долг 68,97 < 80, т.е., чтобы иметь возможность рассчитаться с долгом, необходимо выбрать проект 2. Естественно, ответственность по принятию решения можно распределить (застраховать), тем самым снизив собственный риск.

Оценка финансовой деятельности страховщика основана на анализе рентабельности, прибыльности и деловой активности страховой компании в отчетном периоде. Финансовое состояние зависит от оптимального формирования нетто- и брутто-ставок при формировании страховых тарифов.