Идентификация линейных статистических систем относительно искомых параметров

Предположим, что каждый компонент системы уравнений:

задающей модель исследуемого объекта или явления, является линейным относительно искомых параметров, т.е. может быть представлен в виде суммы произведений этих параметров на некоторые функции входных величин:

В этом выражении для большей прозрачности последующих изложений опущен индекс j , т.е. каждый компонент исходной системы

уравнений рассматривается отдельно, как модель какой-то одной стороны исследуемого объекта. Функции можно рассматривать в качестве базисных функций в пространстве входных воздействий, а представление модели в форме уравнения:

как разложение реакции (или отклика) объекта по системе базисных функций

Такое представление модели объекта позволяет при ее идентификации вычислить не только оценки для значений параметров, но и найти для них доверительные интервалы, т.е. оценить погрешность идентификации, что важно для последующей проверки адекватности модели экспериментальным данным.

При проведении идентификации множеству входных переменных на каждом к -том шаге эксперимента искусственно придают комбинации заранее известных значений

и измеряют соответствующий отклик объекта . При этом базисные функции преобразуются в числа . Теперь подставим в исходное уравнение модели полученные экспериментальные данные. В результате получим систему условных (в терминах Гаусса) уравнений:

Г х

Эти уравнения называются условными из-за того, что экспериментальные данные были получены в результате измерений, и поэтому

их левые части лишь случайно могут оказаться равными У^. Для получения действительной системы уравнений к левым частям следует добавить некоторые количества - невязки условных уравнений А/с ?

Систему условных уравнений, линейных относительно искомых параметров , можно представить в матричной форме, что

значительно упростит последующее изложение. Введем следующие обозначения:

- транспонированный вектор-столбец искомых параметров;

• матрица коэффициентов условных уравнений, значения которых вычисляются по экспериментальным данным как значения базисных функций;

- коэффициенты условных уравнений,

- транспонированный вектор-столбец невязок,

- транспонированный вектор-столбец реакций объекта на входные воздействия.

С введенными таким образом векторами и матрицами система условных уравнений приобретает вид:

Система уравнений несовместима, так как число неизвестных (параметры и невязки общим числом S + К) превышает число К уравнений. Решить матричное уравнение можно методом наименьших квадратов путем минимизации суммы квадратов невязок:

Для того чтобы найти не только значения параметров идентифицируемой модели объекта, но и погрешности их определения, воспользуемся методом максимального правдоподобия для невязок.

Будем считать, что невязки условной системы уравнений являются реализациями К -мерной случайной нормально распределенной величины с нулевыми математическими ожиданиями компонент и с корреляционной матрицей RA. Тогда плотность совместного распределения невязок можно записать в виде:

где - транспонированный вектор возможных

значений невязок;

- матрица, обратная корреляционной матрице невязок;

- определитель корреляционной матрице.

В качестве примера рассмотрим модель температурного поведения резистора в виде уравнения:

где R - сопротивление резистора при температуре t°C,

R0 - его сопротивление при температуре О°С,

а - параметр модели.

Идентификация модели осуществляется путем нагревания резистора до нескольких значений температуры и измерения соответствующих значений сопротивления резистора

Переходя к обозначениям, принятым в настоящем параграфе, введем следующие обозначения.

Система условных уравнений принимает вид:

где вектор параметров

вектор результатов измерений сопротивления резистора вектор невязок и вектор их возможных значений

матрица коэффициентов условных уравнений

Далее будем считать, что невязки условных уравнений являются независимыми нормально распределенными случайными величинами с дисперсиями Тогда корреляционная матрица невязок

, где - единичная квадратная матрица размером

Матрица, обратная корреляционной матрице, равна

В этом случае выражение для определяющей матрицы Q значительно упрощается:

1

Казалось бы, что это выражение можно еще более упростить:

но матрица А не является квадратной, поэтому не имеет обрат-

т

ной матрицы. По произведение А х А образует квадратную матрицу и ее можно обращать.

Все исходные данные подготовлены. Теперь можно вычислить определяющую матрицу Q системы нормальных уравнений:

Вектор искомых параметров модели резистора находится теперь умножением определяющей матрицы Q на вектор Y результатов измерения сопротивления резистора при разных температурах:

Таким образом, окончательно имеем следующие формулы для определения параметров температурной модели резистора:

Процедура идентификации получается довольно трудоемкой, особенно при большом числе параметров модели. Во всяком случае, за нее лучше не браться без использования систем компьютерной математики.

Так, еще Ф. Гаусс, производя топографические съемки Ганновера, вынужден был составить и решить систему из 300 условных уравнений с 55 неизвестными параметрами. На решение системы ушло три месяца кропотливой работы. Еще более разительный пример приводит академик Крылов: при проведении топографической съемки Индии была составлена система из 2500 условных уравнений с 88 неизвестными, и специальное вычислительное бюро решало ее в течение почти двух лет.

Следует помнить, что в том случае, когда невязки условных уравнений являются независимыми нормально распределенными случайными величинами с одинаковыми дисперсиями, можно воспользоваться непосредственно методом наименьших квадратов, который дает те же оценки для искомых параметров, что и метод максимального правдоподобия, но является более наглядным.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >