РАЗЛОЖЕНИЕ ИНДЕКСА ФИЗИЧЕСКОГО ОБЪЕМА ВЫПУСКА НА СОСТАВЛЯЮЩИЕ

Заметим, что в динамике выпуска ХС можно установить три эффекта.

• 1. Эффект изменения масштаба выпуска как таковой. Он оценивается индексом X.
• 2. Эффект вытеснения. Суть его сводится к следующему. Если в выпуске ХС имеет место структурный сдвиг, то обязательно доли некоторых продуктовых групп увеличатся. Совокупная доля этих продуктовых групп возрастет — они как бы вытеснят в долевой структуре выпуска другие номенклатурные или отраслевые позиции.

Мерой эффекта вытеснения служит сумма соответствующих приростов.

То есть это не что иное, как

3. Эффект сжатия. Он выражается в том, что доли некоторых продуктовых групп в общей сумме долей снижаются. Количественно эффект сжатия выражается суммой соответствующих уменьшений, т.с. это величина:

Видно, что эффекты вытеснения и сжатия являются равновеликими, имеющими противоположные знаки. Эти эффекты с разных сторон характеризуют одно и то же явление — структурный сдвиг. Абсолютные величины количественных характеристик этих эффектов совпадают с мерой структурного сдвига т.

Осуществим следующие преобразования. Во-первых, запишем соотношение:

.Далее выделим долевую структуру выпуска, для чего вынесем за скобки из правой части величину X. Имеем:

Запишем:

где lj изменение г-й доли при переходе err долевой структуры d - (d_{, d₂,...» d„) к долевой структуре Р - (/ Р₂,...» Р„).

Имеем:

Учитывая, что /, = Р, - d’• в последнем выражении, выделим эффекты сжатия:

и вытеснения

Будем иметь:

Оценку Хт* необходимо воспринимать как меру сходства исходной и «отчетной» структур выпуска ХС, приведенную к масштабу индекса роста — X. Уже было высказано понимание меры сходства как оценки инерционности структуры выпуска. Соответственно Хт задаст реконструктивный компонент выпуска. Получаем разложение индекса роста на две составляющие — инерционную и ре конструктивную. Такое разложение лежит в основе всех рассматриваемых далее методик совместного анализа роста и структурных сдвигов ХС.

Важно подчеркнуть, что посредством прямого вывода разложение индекса X на составляющие возможно, но крайней мере, еще одним способом, который и реализуется ниже. Речь идет об энтропийном (теоретико-информационном) подходе к оценке структурных изменений и инерции в выпуске ХС.

Любая фактически существующая хозяйственная система хотя бы частично является стохастическим (вероятностным) объектом. Рассматривая идеализированную модель ХС, мы можем предполагать, что это полностью вероятностный объект. Такое предположение, конечно, нс вполне соответствует действительности. Оно, однако, является допустимым приближением к ней.

Вероятностный характер рассматриваемой версии анализа хозяйственной системы заключается в том, что долевые показатели выпуска — величины (I, и Р_г понимаются в вероятностном смысле. Например, (I, представляется вероятностью того, что данная в стоимостном измерении единица выпуска ХС будет на самом деле единицей /-го результата — продукта, услуги и т.п.

Естественно записать:

где Sj полное количество продукции /-го вида, измеренное в стоимостном выражении;

5⁺ суммарный выпуск всех продуктов и услуг.

Ясно, что Если определить S_i соотношением

то получим:

Последнее выражение согласуется с экономическим смыслом параметра d- как долевой характеристики выпуска.

Величина S, = А, х q, выглядит теперь как математическое ожидание выпуска по 1-й позиции, а величина представляется

математическим ожиданием общего объема выпуска всех продуктов и услуг.

Выпуск ХС флуктуирует. И при вероятностях d, существует возможность реализации состава, отклоняющегося от паи вероятней шего, т.е. от S= (5,, S₂,..., S„), как по отдельным компонентам, так и в целом.

11апример, не исключена возможность, что ХС на самом деле реализует состав С = (С), С С„), где С, = у,х q_t.

Определим вероятностные характеристики подобного события. Обозначим через А (С d) событие, заключающееся в том, что i'-й компонент принял значение, равное С, при условии, что вектор опорных вероятностей имеет вид d = (d_u d₂,d„).

Обозначим через A (Cd) = А (С,, С₂,..., С„ d) событие, состоящее

в совместной реализации количеств С„ где i = 1.....п при вероятностях

. То есть

где Л значок логического умножения.

Введем обозначение Символ Q(A) обозначает веро

ятность осуществления события /1.

Имеем:

где Qi(C | d) вероятность события А (6’| d) при е-м варианте реализаци и состава С

G* общее множество вариантов такой реализации.

Речь о различных вариантах реализации состава С = (С,, С₂, ...» С„) может идти нотой причине, что элементарные компоненты количества С = С, + С₂ + ... + С_п могут распределяться по набору С = (С,, С₂,..., С„) многими способами. Такой отдельный вариант распределения и называется здесь реализацией состава С. Можно считать, что все реализации осуществимы и являются попарно несовместимыми событиями. Это и приводит к необходимости суммировать величины (?(С | d) по количеству реализаций. (Неосуществимую реализацию ? можно считать осуществимой с вероятностью Q/C | d ) = 0. Отсюда возможность учитывать полное их множество.)

Из формулы для Q(С | d ) видно, что все сводится к анализу выражений 0?С | d ).

Из теоретического представления о множестве производственных возможностей следует, что в принципе количеству благ первого типа С; в данной 8-й реализации состава С могут соответствовать самые разнообразные наборы остальных благ, т.е. наборы (С₂, С_Л} ..., С„). Такое теоретическое представление хорошо согласуется с практикой общественного выбора, в котором никакой набор предпочитаемых и производимых благ С = (С,, С₂, ..., С„) нельзя считать жестко детерминированным по всем своим параметрам.

По формуле условной вероятности имеем:

где — условная вероятность реализации события

уже

имеет место.

Ввиду соотношения будет:

Можно записать:

поскольку

Последнее условие коммутативности задано в определении операции логического умножения.

Поэтому:

Отсюда:

Это означает, что

Если события Л(С (Г) независимы попарно и в совокупности при i=l,...» п, то выполняется:

Зафиксируем помер е и переобозначим через

Попытаемся при допущениях, оговариваемых далее, установить явный вид функций QfjC-d).

Согласно уже высказанной выше интерпретации величины d, как вероятности того, что единица состава С будет на самом деле единицей i-го компонента выпуска, при С_; = 1 имеем Qi(C,d) = d_t.

Рассмотрим событие Л (С,), состоящее в принятии фактором /значения С,. Если

так как сумма величин Cj^!> и С}²⁾ возможна только при совмещении событий, заключающихся в наличии этих количеств на данный период времени.

Важно отметить, что экономический (воспроизводственный) подход предполагает возможность суммирования только для благ, относящихся к одному условно выделенному периоду времени. Это связано с тем, что в промежутке между периодами благо можно использовать в целях приумножения. Поэтому, как отмечает Э. Маленво, «два рапных количества одного и того же продукта, которые можно использовать в различные моменты времени, не являются в действительности вполне эквивалентными и поэтому должны рассматриваться как разные блага». Итак, разновременность использования благ делает их различными, т.е. меняет их размерность. Под размерностью мы понимаем количество определенного качества, качественную определенность количества. Например, метр холста — это размерность, в которой измеряется данная ткань. Метр холста в период f, равен метру холста в период t₂ Ф1_Л. Поэтому количество метров в период t, имеет другую размерность с количеством метров холста Cj²⁾ в период t₂. Следоватепыю, события , отнесенные к разным моментам

(периодам) времени, несовместимы и событие является

невозможным. Оно становится возможным лишь при совмещении интервалов времени для актуализации величии Cf⁰ и С|²⁾. Поэтому I здесь означает . С другой стороны, при

надлежность благ к одному интервалу времени допускает широкое поле интерпретаций, и понимать ее в смысле полной одномоментности на временном континууме нет никакой необходимости.

По формуле умножения вероятностей имеем:

где Q»/ обозначение условной вероятности.

Возьмем т.е. примем условную вероятность

равной безусловной. В этом случае

Тогда

Учитывая начальное условие (iOkO ^{= (}К получаем: для целых величин С-.

11усть C^R) — часть числа содержащая R «значащих» цифр после запятой (остальные заменены нулями).

Тогда

или

Так как 10* хС^ целое число, то

Отсюда:

Для вещественного числа С, имеем:

Итак, ', тогда

В общем же случае имеет место соотношение

Неравенство является основным в теоретико-информационной версии разложения индекса. Поэтому доказательство соотношения заслуживает отдельного рассмотрения.

Из результатов, полученных выше, вытекает общая схема разложения индекса роста.

Если имеется некоторый измеритель структурных изменений, такой, что 0 < т < 1, то ему соответствует парная оценка инерционности: т* = 1 - т. Тогда простые преобразования приводят к разложению индекса:

где Ххт* компонент,оценивающий инерцию:

X х т составляющая, связанная со структурным сдвитом.

Правило разложения индекса по формуле выглядит так:

Это допускает следующее общее обоснование.

11устьзаданы коэффициенты структурного сходства (т*) и различия (т) такие, что тождественно выполняется: т* + т = X: т* > 0; т > 0.

Будем искать реконструктивный компонент индекса роста в виде зависимости:

Аналогично, для инерционного компонента индекса X, имеем

Допустимо также понимать А/, как оценку сходства структур, учитывающую динамический масштаб измеряемого процесса — X. Точно так же допустимо понимать М₂ как меру структурного сдвига, скорректированную на индекс X.

На функцию (р,(л. т*) налагается естественное граничное условие: <р,(А., 0) = 0. Аналогично <р₂(Х, 0) = 0. Интерпретация этого проста.

Если отсутствуют структурные сдвиги или, например, инерционность, то соответствующий компонент в разложении индекса тоже должен быть равен нулю — для него нет оснований.

11оскольку мы строим разложение индекса, то должно тождественно выполняться:

Так как в последнем выражении справа расположена функция положительно-однородная относительно X, то такой же будет и функция <р, + ф₂ н левой части. Тогда имеем:

Или:

11о т* + 171 = 1, значит:

Выражения М, = X хт* и М₂ = X х т в качестве решений исходной системы функциональных уравнений имеют весьма простую структуру — они линейны но каждому ив входящих в них аргументов. Как таковые при принятых граничных условиях эти решения единственны.

В важнейшем частном случае, когда:

можно воспользоваться единственным граничным условием: ф₂( 1, т) = т, справедливым, поскольку здесь реконструктивный компонент единичного уровня роста в точности исчерпывается эффектом вытеснения, мерой которого является величина т. Из равенства ф₂(1, т) = т следует:

Решения М, = X х т* и М₂ = X х т будут удовлетворять условию единственности без дополнительной посылки о линейности по аргументам.

Смысл полученного результата достаточно прост: если структурные изменения в выпуске составляют т%, то необходимо рассматривать т% выпуска как связанные с изменениями cm структуры,

В то же время выпуск на т*% сохраняет характеристики своей исходной структуры. Отсюда ///*% выпуска считаются обусловленными такой структурой.

В рассматриваемом здесь случае допустимо следующее истолкование. Преобразование вектора исходных долевых пропорций

в вектор , сводит

ся к результату следующих трансформаций: d, преобразуется в Xj¹* xrfj; X⁽j^l)xd_j преобразуется в Р‘.

Все сказанное осуществляется по схеме:

При этом Х[¹⁾ стремится к X, Х:²⁾ стремится к X, х] стремится к

В результате имеем векторное тождество:

Суммируя строки в полученном выражении, получаем искомое соотношение:

Таким образом, структура I** выглядит как результат «смешивания» вектора исходной структуры d = (d_v d₂.....d_n), взятого с коэффи

циентом усиления X и коэффициентом смешивания т*, и вектора структурного сдвига х = (х_и х₂, х„), взятого е коэффициентом сме

шивания т. При этом

Описанная схема формирования разложения индекса позволяет приблизиться к решению важной проблемы подбора наиболее подходящей оценки структурного сдвига т, а именно: в качестве т при возможных вариантах надо выбрать такую меру структурных изменений, чтобы вектор х имел наиболее обоснованную интерпретацию.

Отрицательные компоненты векторахследует истолковывать как в основном порожденные эффектом замещения роста выпуска со стороны структурных сдвигов. Соответственно положительные составляющие вектора х понимаются как в основном порожденные эффектом дополнительности структурных сдвигов по отношению к росту выпуска.

Итак, вектор х = (х_{, х₂.....х„) представляет собой набор измене

ний. которые преобразуют начальную структуру в конечную. Поэтому компонент X х т в разложении индекса, соответствующий вектору х, является реконструктивной составляющей выпуска. Соответственно компонент X х т* представляет собой инерционную составляющую.

Среди прочих мер структурных изменений следует выделить оценку:

В этом выражении (Pxd) есть обозначение скалярного произведения векторов долей —значок

евклидовой нормы:

Можно отметить следующие достоинства оценки F — она позволяет суммировать сдвиги за несколько лет, выявлять возвратные колебания структуры.

Индекс роста л. можно записать следующим образом: где

N называется нормой роста выпуска. Целесообразно перейти от темпа роста к норме роста и соответственно к разложению нормы роста на инерционную и реконструктивную части.

где А.,, - 1:

А,,, начальное значение показателя роста, соответствующее уровню базового года. Буква «н» говорит о том, что помеченные ею величины начальные, базовые.

Логично записать: где М - А, х пг*. а М₂ ~ А. х т.

Таким образом, М_1и+ М_2и = 1 и необходимо поделить единицу между двумя компонентами начального состояния — инерционным и реконструктивным.

Будем определять М_и, как А._м хт*_н , а М₂„ необходимо определить как Л.,, хт_и.

Уже известно, что Х_и= — = . Определим т_п. Это не что иное, как сдвиг базовой долевой структуры относительно самой себя. Естественно, что при таком понимании т_к = 0, как бы пи была задана формула. Таким образом, М_2и =1 х 0 = 0.

Соответственно

11о тогда

В целом имеем основной результат данного параграфа:

Необходимо обратить внимание на то, что разложение (5.1) может быть реализовано неоднозначно — в зависимости от вида выбранного коэффициента структурного сдвига. В такой ситуации можно найти позитивный момент — появляется возможность выбирать меру структурных изменений, наиболее подходящую к условиям исследования. Кроме того, появляется возможность альтернативного анализа структурно-динамических процессов с использованием различных мер структурного сдвига. Последнее может существенно повлиять на обоснованность выводов и рекомендаций. В данном исследовании систематически используются метрическая и теоретико-информационная оценки структурного сдвига.

Ниже предлагается анализ мер структурного уклонения в двух вариантах — метрическом и теоретико-информационном.

Меры структурного уклонения используются в том случае, когда отсутствует информация о долевой структуре выпуска, а это случается довольно часто.

Так, в статистических сборниках и справочной литературе имеется достаточная информация о выпуске продукции в натуральном выражении, но данные о ценах не приводятся ввиду методической сложности их подбора. В этой ситуации все равно необходимо иметь представление об интенсивности происходящих изменений структуры выпуска, поэтому приходится использовать оценки структурного уклонения.

Для того чтобы построить коэффициент структурного уклонения, необходимо проанализировать факторы структурного сдвига.

Предположим, что при произвольной исходной долевой структуре (I =(е/,, (1₂.....d_n) темпы изменения всех номенклатурных групп

одинаковы, т.е.

11овые доли, которые будут иметь место, таковы: поскольку

Таким образом, можно сделать вывод, что при равенстве темпов роста долевые характеристики выпуска не изменяются. Справедливо и обратное заключение — долевые характеристики меняются за счет разницы в темпах роста. Покажем это. Если не все темпы роста одинаковы, то по крайней мере один из них не совпадает с совокупным темном А (действительно, если все величины И совпадают с А, то они и между собой оказываются равными). Тогда d_; Ф Р„ где • a h. ф А.

То есть в наличие структурный сдвиг по /-й позиции, а значит, и общий структурный сдвиг. Информация о темпах роста позволяет судить об интенсивности структурных изменений даже в том случае, когда исходные долевые характеристики (1, неизвестны. Построим необходимые измерители, г.е. оценки структурного уклонения.

Фактором структурного сдвига является отклонение темпа h- от величины А, что видно из соотношения:

Если (1, неизвестны, то возможной мерой структурного уклонения могла бы стать величина

I (елесообразно пронормировать К, т.е. наложить условие 0 < К < 1.

Для этого достаточно ввести функции Р- (h)= Р* (h,.h,.....h„)

и //‘(А) такие, чтобы выполнялось условие: В ча

стности, Р* можно определить по формуле

Аналогично d определяется исходя из соотношения:

Окончательно имеем:

11еобходимо уточнить оценку темпа роста А. исходя из предположения, что иногда нет возможности установить цены-соизмерители q_t. Для уточнения надо принять во внимание, что любой индекс изменения количества имеет строение:

Специфика определения подходящей формы числа л связана с выбором коэффициентов d_r В индексной теории существуют два основных подхода к проблеме выбора величин d_r Первый называется агрегатным, здесь d, определяется по формуле

Агрегатный подход стал общепринятой позицией в начале 1930-х гг.

Второй подход, условно называемый стохастическим, требует определения величины d, по формуле

где п чиело учитынаем ых iюказателей.

Исторически стохастический подход в качестве общепринятой методики использовался раньше агрегатного, но затем был отвергнут.

Основная идея стохастического подхода подробно обосновывалась Ф. Эджвортом и опиралась на особенности функционирования совершенного рынка, подразумевающие, что потребители четко выявили свои предпочтения, т.е. спрос сформировался и устойчив, производители определили оптимальные комбинации факторов производства и им нет необходимости от них отказываться, предложение, таким образом, тоже устойчиво. Кроме того, считается, что внешние факторы оказывают на экономику пренебрежимо малое влияние.

Тогда рост экономики будет осуществляться единым темпом X, около которого с небольшими отклонениями флуктуируют частные темпы роста отдельных продуктовых групп, т.е. величина h_t.

Отсюда — естественное требование исчислять общий индекс роста по формуле среднеарифметической величины:

Отстаивая идеи оравновзвешенности величин И,, Ф. Эджворт ис- пользовал формулу геометрической средней:

1

Однако, как убедительно показал Р. Аллеи, «геометрический индекс не имеет экономического смысла, а арифметический его имеет». Поэтому далее используется формула

Кроме того, в силу 1п(1 + х) ~ х для небольших х можно осуществить следующие выкладки.

Имеем:

где Nj норма роста по г-му компоненту.

Естественно, считается, что N — достаточно малые величины.

Тогда

То есть мы вновь приходим к арифметической средней.

В основном под влиянием идей Кейнса, который первым начал критиковать концепцию идеального рынка, стали использоваться агрегатные индексы. Однако никакого общего обоснования агрегатной формы индекса теория не выработала. В этих условиях большинство индексологов согласились с тем, что индексовое число не может выбираться исходя из формальных соображений, а в каждом конкретном случае должно соответствовать специфике изучаемого объекта или процесса [ 161.

В частности, если имеется информационная неопределенность, обусловленная отсутствием достоверных данных о ценах-соизмерите- лях q„ то допустимо использовать идеи стохастического подхода и исчислять сводный индекс по формуле

На основании оценок структурного уклонения имеется возможность разложить индекс роста на инерционный и реконструктивный компоненты. Такое разложение обосновывается следующим образом. Имеет место соотношение:

где dj исходная долевая характеристика номенклатурной позиции под номером г;

Pj «отчетная» долевая характеристика упомянутой номенклатурной позиции;

Ilj ее индекс (темп) роста;

А. общий темп роста исследуемого агрегата.

Можно задаться вопросом — в каком случае переход от величины d, к величине Р, будет характеризовать эффект вытеснения? То есть надо, чтобы выполнялось условие ^[1]

По позиции г будет иметь место эффект сжатия, если /г, < X. Это приводит к темповой оценке эффекта сжатия:

где G множество индексов г, для которых

Теперь можно осуществить схему разложения индекса /:

где К* - 1 К.

К* можно понимать как аналог оценки инерционности. Оценки К и К* удовлетворяют акеиоматикс оценок различия (для 1C) и сходства (для К*) Б1 - БЗ, А1 - АЗ. Аналогично можно ввести информационные меры структурного различия и сходства:

/• ¹

где а _г = — для всех . п

Будут удовлетворяться аксиомы оценок различия (для К) и сходства (для К*) Б1* - БЗ*, ЛГ - АЗ*.

• [1] это не что иное, как Следовательно, эффект вытеснения можно охарактеризовать через темповые показатели. Примем за приближение величины X оценку /. Тогда можно потребовать, чтобы выполнялось неравенство: Поэтому эффект вытеснения оценивается суммой: