Модели оптимального управления ресурсами социально-экономической системы

Важнейшей задачей теории управления является построение оптимальной стратегии перевода социально-экономической системы из некоторого начального состояния s0 в конечное. Ввиду стохастичности

этого процесса, конечную цель правильнее представить в виде некоторого набора конечных состояний, области Т.

В монографии[1] была предложена методика моделирования управления с помощью пространственно-временных диаграмм (ПВД). Согласно этой методике управление U моделируется в виден направленной линии, построенной на координатной плоскости tOs и соединяющей точку A(t0jS0), соответствующую начальному состоянию системы sQ в начальный момент времени t0 и область Г конечных состояний системы (рисунок 6).

Модель управления системой

Рис. 6. Модель управления системой

Область Т ограничена следующими линиями: - минимальное время достижения цели, - максимальное время достижения цели, - минимальное состояние цели, - максимальное состояние цели.

Оценкой цели служит ее «размер» ST . Под размером цели мы подразумеваем совокупность состояний в определенные моменты времени, которые можно считать конечными состояниями социально- экономической системы. Размер цели можно определить как двойной интеграл функции состояния по области Т,

В статье [2] [3]приведен алгоритм построения оптимальной стратегии. При этом учитывается влияние факторов внешней среды. Здесь для простоты будем предполагать линейный характер управления.

Процесс достижения цели требует некоторого ресурса. Под ресурсом будем понимать любые средства, возможности, ценности, запасы, позволяющие получить желанный результат.

Ресурс может быть выделен как в полном объеме для запланированного управления, так и в процессе достижения цели могут быть получены дополнительные ресурсы.

Объем ресурса должен быть необходимым и достаточным. Это может служить одним из критериев оптимальности управления системой.

Если ресурс недостаточен, то его может не хватить для достижения цели. Излишки избыточно выделенного ресурса могут быть направлены для реализации других проектов.

Моделирование получения или передачи ресурса системой рас- смотрено в статье .

Сформулируем основные вопросы, связанные с управлениями ресурсами.

  • 1. Какой объем ресурса необходимо выделить социально- экономической системе, чтобы она достигла требуемой цели?
  • 2. Ресурс, выделенный системе, оказался избыточным. Каков объем ресурса может быть направлен на реализацию других проектов?
  • 3. Ресурса для достижения цели достаточно. Однако есть возможность инвестировать его в другие проекты. Какой объем ресурса можно выделить и в какой момент времени вернуть, чтобы система могла достичь цели?

Последнюю задачу можно также рассмотреть с дополнительными условиями: а) объем возвращаемого ресурса равен объему выделяемого ресурса; б) возвращаемый ресурс больше выделяемого.

4. Имеющегося ресурса недостаточно для достижения цели. Можно ли перераспределить ресурс так, чтобы с учетом возвращаемого ресурса система достигла цели.

В терминах ПВД под ресурсом W подразумевается источник, который сообщает системе, структура которой пропорциональна параметру т, скорость у, позволяющий системе достичь цели Т,

Скорость v определяется как производная функции состояния по времени,

Геометрический смысл производной заключается в том, что (2.2.1) есть тангенс угла наклона касательной к линии s = s(t)- модели управления системой. Если управление осуществляется линейно, то скорость пропорциональна углу ее наклона к оси времени (рисунок 7), Скорость развития системы

Рис. 7. Скорость развития системы

Ресурс изменяет скорость развития системы. Следовательно, на ПВД изменению ресурса соответствует изменению угла (рисунок 8). Измененный угол

Соответственно, отдача ресурса моделируется уменьшением исходного угла на угол, пропорциональный объему ресурса,

Итак, объем выделяемого (отданного) ресурса пропорционален углу Р. Изменение ресурса влечет за собой изменение угла,

Получение дополнительного ресурса

Рис. 8. Получение дополнительного ресурса

Скорость нового управления пропорциональна алгебраической сумме углов, соответствующих первоначальному управлению и объему выделенного (отданного) ресурса.

Перейдем к рассмотрению ПВД, позволяющих ответить на сформулированные выше вопросы.

Если известно начальное состояние, в котором находится социально-экономическая система, цель к которой она стремится, а также интервал

за который цель может быть достигнута, то объем выделяемого ресурса W пропорционален углу (X, тангенс которого равен

Найденное равенство позволяет рассчитать объем ресурса, необходимый для достижения цели.

Ресурс определяет управление U. Его можно ограничить минимальным и максимальным управлением (рисунок 9),

которым соответствуют углы (рисунок 10)

Минимальное и максимальное управление

Рис. 9. Минимальное и максимальное управление

В качестве показателя эффективности управления можно взять: состояние цели или время достижения цели. Соответственно, имеем две оценки для скорости управления: а) по критерию состояния

по критерию времени достижения цели

Предположим теперь, что ресурс избыточен. ПВД, моделирующая эту ситуацию, представлена на рисунке 10.

Направленная линия АВ соответствует первоначальному управлению U. В соответствии с этим управлением скорость развития системы равна

В момент времени tx система, следуя управлению U, достигла состояния 5, (на рисунке 10 ей соответствует точка В).

В точке В было принято решение изменить стратегию и часть высвободившегося ресурса направить на реализацию других проектов. Объем W высвобождаемого ресурса пропорционален углу f3, Модель «Ресурс избыточен»

Рис. 10. Модель «Ресурс избыточен»

После этого скорость развития системы изменилась и стала равной

Итак, новое управление U i социально-экономической системой характеризуется скоростью (2.2.4), причем

Объем выделяемого ресурса определяется с помощью равенства (2.2.3). Согласно (2.2.3) и (2.2.2) получаем:

Скорость v, можно рассчитать в принятых показателях эффективность. А именно, если нам необходимо построить управление, позволяющее системе достичь цели с минимальным показателем эффективности, то

Если же требуется достичь цель за минимальное время, то скорость Vj управления t/j выбирается такой, что

Теперь пусть нам известны объем ресурса, который необходимо высвободить, а также скорости старого и нового управления. Рассчитаем момент времени t{ высвобождения ресурса. Имеем:

Рассмотрим ситуацию, сформулированную в вопросе 3 (рисунок 11). На нем в точке В происходит передача ресурса, объем которого равен (2.2.3). В результате этого скорость развития системы снизилась, угол

Точка С- точка возврата ресурса. В ней управление вновь характеризуется скоростью, которая соответствует углу

82

Модель возврата ресурса

Рис. 11. Модель возврата ресурса

Построенная модель выявила следующую проблему. Время передачи ресурса необходимо рассчитать так, чтобы управление системой U2 позволило системе достичь цели. В противном случае, время

достижения цели может быть упущено и потребуется дополнительный ресурс, чтобы наверстать его. Итак, время передачи ресурса (рисунок 11) равно: BE = At = t2 —tx . Из рисунка 11 следует, что управление U2 достигнет цели, если отрезок BD не превзойдет временного интервала . Получаем: ,

. Итак, время передачи ресурса должно удовлетворять неравенству:

Теперь предположим, что объем возвращаемого ресурса больше, чем объем взятого. В терминах ПВД это означает (рисунок 12), что угол

Система развивалась согласно управлению U (ему соответствует направленная линия АВ) со скоростью

в течение интервала времени

Модель возврата ресурса, W > W

Рис. 12. Модель возврата ресурса, W2 > Wx

В точке В произошла передача ресурса в объеме Wx. Ему соответствует угол Р такой, что

Система стала развиваться в соответствии с управлением Uх

(ему соответствует направленная линия ВС). Скорость развития системы стала равной

Ресурс в объеме W-, был возвращен системе в точке С. Ему соответствует угол Дтакой, что

Благодаря полученному ресурсу система приобрела скорость развития

Развиваясь с этой скоростью система достигал цели в точке ?>(управление U2, направленная линия CD).

Отметим, что объем возвращенного ресурса может быть избыточным. Системе может потребоваться его гораздо меньше, чтобы достичь цели. Поэтому излишки возвращенного ресурса в свою очередь могут быть переданы системой. Расчет объема переданного ресурса, а также время его передачи производим по формулам (2.2.6) и (2.2.7).

Дадим оценку объем ресурса, позволяющей системе из точки С достичь цели. Очевидно, что для того чтобы система достигла цели, угол а2 должен удовлетворять условиям (рисунок 13):

Неравенство (2.2.8) позволяет получить оценку для коэффициента к

Теперь получим неравенство, позволяющее оценить объем возвращаемого ресурса:

Оценка для возможности достичь цели

Рис. 13. Оценка для возможности достичь цели

Рассчитаем момент времени возвращения ресурса. Для этого введем следующие обозначения (рисунок 14). Предположим, что в точке C(t; 5) система получила дополнительный ресурс. В результате этого скорость системы стала равной

Система развивается в соответствии с управлением U. В момент времени система достигла цели. Ее состояние при этом равно

Цели система достигает в точке

Из точки С система может достигнуть двух крайних конечных

Т Т

состояний: 5minH smax. В первое состояние система переводится с помощью управления U' в момент времени t,

Управление U" переводит систему из состояния S в конечное состояние sTmAX в момент времени t,

Очевидно, что для конечного состояния системы имеет место оценка:

или

Оценка конечного состояния системы

Рис. 14. Оценка конечного состояния системы

Рассмотрим случай, когда возвращаемого ресурса может системе оказаться недостаточно для достижения цели. Здесь возможны две основные причины. Время получения ресурса было или слишком ранним или слишком поздним. Вследствие этого управление системы направило ее развитие мимо цели. Во - вторых, возможно, не только ошибочно определить время передачи ресурса, но выделить его в таком количестве, что конечное состояние системы будет ниже целевых показателей. Можно в качестве решения предложить изменить объем выделяемого ресурса. Возможность корректировки ресурса была рассмотрена выше. Здесь мы считаем, что изменить размеры ресурса мы не можем.

Итак, предположим, что в результате получения ресурса скорость системы va оказалась меньше скорости vv,,

Это значит, что система не сможет достичь цели. Однако, в момент времени tv она достигла состояния

Рассматриваемая ситуация показана на рисунке 15.

Решением этой задачи является корректировка времени получения ресурса. Это необходимо сделать раньше, в момент времени .

Найдем его с помощью ПВД. Имеем: для того, чтобы получить новое значение времени получения ресурса, необходимо направленную линию АС подвергнуть параллельному переносу вдоль линии СС, до тех пор пока точка С не сольется с точкой С{. Линия Ах Сх определяет новое управление U{, при котором система в точке С{ достигает цели.

Из рисунка 15 следует, что , откуда ,

т

. Итак, если известно время tv> достижения цели при

применении управления U', а также время Atv = tv t реализации

стратегии U, то скорректированное время передачи ресурса tx подсчитывается по формуле:

Теперь будем считать, что управление U не позволяет системе достичь цели и по времени и по состоянию (рисунок 16). Это значит, что конечное состояние, которого может достичь система в момент

времени tv, равно

т

Рис. 15. Корректировка времени получения ресурса, Sy =

т

Рис. 16. Корректировка времени получения ресурса, Sy < Sy>

Для того, чтобы найти новое управление (/,, позволяющее системе достичь цели, подвергаем направленную линию СА параллельному переносу вдоль линии АА , до тех пор пока точка А перейдет в точку А, . При этом точка С сольется с точкой С,, которая и будет точкой передачи ресурса. Получившаяся при этом направленная линия С, А, является моделью управления Uх ? Координаты точки С, являются

соответственно временем и значением состояния системы, при которых необходимо передать ресурс.

Корректировка времени передачи ресурса производится по формуле (2.2.9). Нетрудно доказать, что формула корректировки состояния аналогична (2.2.9):

при этом ASy - разность состояний, которую достигает система при управлении U.

Рассчитаем угол (5 корректировки стратегии. Обозначим:

Заметим также что треугольники АС2ВА и ААВХАХ подобны с коэффициентом подобия ,

Получаем:

Итак,

Перейдем к рассмотрению последней ситуации. Итак, предположим, что имеющегося ресурса будет недостаточно для достижения цели (рисунок 17). В качестве решения проблемы предлагается передать часть ресурса на время с тем, чтобы через какое - то время получить его «с процентами».

т

Рис. 17. Модель возврата ресурса, W2 > W{ , Sи < ^т;п

Система развивается в соответствии с некоторым управлением U со скоростью vv ? Прогнозирование управления показывает, что с помощью управления U невозможно достичь цели. Причин этому две: 1) система не в состоянии достичь состояния, равному минимальному состоянию цели sт; 2) система достигает состояния s т. либо слиш- ком поздно, либо слишком рано. Мы проанализируем вторую причину.

В точке В было принято решение передать ресурс в объеме W, с тем, чтобы возвращаемый ресурс W2 был бы больше Wx,

Передача произошла в момент времени t{. Скорость системы замедлилась и стала равной v, = tgax, а объем Wx передаваемого ресурса пропорционален углу а -ах (формула (2.2.3)),

Применяя управление С, , система развивается со скоростью v, = tgal . Ему соответствует направленная линия ВС. В точке С (момент времени 12 , состояние s 2 ) происходит возврат ресурса в объеме W2 , удовлетворяющего условию (2.2.10). Система, получив ресурс, приобретает скорость v2 = tga^, позволяющую достичь цели в точке D (время /3, состояние $3 , управление U2). Объем выделяемого ресурса пропорционален углу а2 - ах ,

Был рассмотрен случай, когда система достигает цели. Также как и ранее вызывает интерес случай, когда система не достигает цели. Чтобы построить модели управлений, с помощью которых система достигает цели, ответим на следующие вопросы:

  • 1) При фиксированной величине ресурсов W, и W2 как рассчитать моменты tx передачи и 12 получения ресурса;
  • 2) При фиксированных значениях моментов времени передачи t{ и t2 получения ресурса как определить объемы ресурсов W] и W2 чтобы система достигла цели.

Представим, что можно скорректировать точку передачи ресурса с тем, чтобы система достигла цели, то есть ее конечное состояние равно минимальным целевым показателем.

Будем считать, что необходимо изменить время передачи ресурса ^ , а время получения ресурса 12 не меняется, интервал времени между передачей и получением ресурса не меняется. ПВД, описывающая эту ситуацию, показана на рисунке 18.

Подвергнем ломаную BCD параллельному переносу вдоль прямой DD, до тех пор, пока точка D не сольется с точкой ?),. При этом точка С перейдет в точку С, , а точка В - в точку В, .

Точка С, определяет скорректированное время t[ передачи ресурса:

Время возврата ресурса t' также будет отличаться от 12 на At:

Заметим, что если новые управления U[ и U'2 отличаются от U] и U2 только временем начала и конца осуществления управлений, то управление U, переводящее систему из состояния з^вз,, изменится.

Из ПВД, показанной на рисунке 18, следует, что первоначальное управление U подвергается изменению. Время достижения состояния s, становится равным

Это значит, что скорость развития системы v = vv, будет меньше первоначальной v = vv,

Тем самым возникает возможность высвободить дополнительный ресурс Г,

Был рассмотрен случай, когда цель может быть достигнута раньше срока. Если же цель может быть достигнута позже времени

т

t = ?min, то, проведя аналогичные рассуждения, получаем: новое время выделения ресурса раньше первоначального,

системе требуется дополнительный ресурс для того, чтобы достичь состояния,

Расчет времени получения ресурса при постоянном интервале времени At происходит аналогично.

Рассмотрение случая варьирования и времени передачи и времени получения ресурса выходит за рамки данного сообщения.

Теперь предположим, что при фиксированном времени получения и передачи ресурса можно варьировать объем переданного и полученного ресурса. Этот случай рассмотрен выше.

Итак, были рассмотрены возможности обмена ресурсами между социально-экономической системой и внешней средой. Построение моделей, адекватно и точно описывающих этот процесс, расчет оптимального количества как выделенного, так и полученного ресурса, определения точки обмена ресурсами, является залогом эффективного управления системами. Предлагаемые модели позволяют построить оптимальное управление, с помощью которого система достигает намеченной цели.

  • [1] Динамика социально - экономических систем: региональный аспект: монография / подобш.ред. д-ра экон. Наук, проф. И.Б. Тесленко; Владим. Гос. Ун-т им. А.Г. и Н.Г. Столетовых.- Владимир: Изд-во ВлГУ, 2013. - 318 с.
  • [2] Крылов В.Е. Пространственно - временные диаграммы в стратегическом управлении социально - экономическими системами. / В.Е. Крылов / Динамика сложных систем. - 2012 - T. 6,№4. - С.112 - 121.
  • [3] Крылов В.Е. Пространственно - временные диаграммы: моделирование входных сигналови отклика на них социально - экономическими системами / В.Е. Крылов /Научное обобрение.- 2017 - №2. - С.98 - 102.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >