Устойчивость поверхности в однородном поле. Капиллярно-гравитационные волны

Равновесная поверхность феррожидкости формируется под влиянием трех родов сил: тяжести, поверхностного натяжения и магнитных. В случае, когда однородное магнитное поле вертикально, можно указать критическое значение напряженности Н», выше которого плоская форма поверхности раздела магнитной и немагнитной сред неустойчива по отношению к малым возмущениям. Равновесным рельефом при Н > Н* являются неподвижные волны.

Неустойчивость границы между феррожидкостью и атмосферой впервые наблюдали Каули и Розенцвейг. Ими же вычислена критическая намагниченность

(а - коэффициент поверхностного натяжения). Величины, относящиеся к атмосфере, будут отмечаться ниже индексом е. В (3.16) положено ре = 1, ре=0. Оценим величину М». Для феррожидкостей на керосиновой основе можно принять р ~ 1 г/см3, а= 28 дин/см. От величины же (цД) критическая намагниченность зависит слабо: изменение (цД) в пределах (1, со) не выводит М* из интервала 5-7 гс. Такие значения М могут достигаться уже на линейном участке кривой намагничивания, так что в окрестности Недопустимо считать р = Д = const (Н).

При линейной связи М и Н удобно перейти от критической намагниченности (3.16) к критической напряженности:

Этой же формулой (с заменой Н на Е и р на е) определяется начало неустойчивости свободной поверхности жидкого диэлектрика в постоянном вертикальном электрическом поле. Если жидкость является проводником, то нужно перейти к пределу е—электрическое поле не проникает в проводящую среду. Получающееся при этом условие устойчивости Eg < Qn^jpga было найдено впервые Френкелем и подтверждено экспериментами.

Пусть в однородном вертикальном поле возникло волнообразное искривление (возмущение) поверхности магнитной жидкости. Напряженность поля вблизи горбов возмущений увеличивается (силовые линии магнитного поля сгущаются), а на впадинах уменьшается по сравнению с равновесным значением. Поэтому возмущение магнитной силы направлено на горбах вверх, а на впадинах вниз, т. е. имеет тенденцию развивать возмущение поверхности. Наоборот силы поверхностного натяжения и Архимеда направлены в сторону, противоположную смещению участков поверхности из положения равновесия, т. е. препятствуют смещению. Пока искривление поверхности мало, все вызванные им силы магнитная, поверхностного- натяжения и сила Архимеда пропорциональны величине смещения. Существенно, что коэффициенты пропорциональности между двумя последними силами и смещением коэффициенты упругости зависят только от свойств жидкости. Коэффициент же «упругости» в возмущении магнитной силы не только определяется свойствами жидкости (ее магнитной проницаемостью), но и пропорционален квадрату напряженности приложенного поля. Поэтому при достаточно больших напряженностях дестабилизирующая магнитная сила превышает сумму двух других сил, и смещения поверхности растут, т. е. наступает неустойчивость.

Теоретическое исследование характера перехода от плоской поверхности к волнистой было начато Зайцевым и Шлиомисом. Значение Н=Н* является точкой бифуркации, выше которой в принципе возможны два типа возбуждения волн мягкий и жесткий. Принадлежность к тому или иному типу определяется зависимостью амплитуды а искривления поверхности от параметра надкритичности Н-Н*: в мягком режиме а обращается в ноль вместе с этой разностью, в жестком амплитуда при H = Н* остается конечной. В последнем случае могут наблюдаться гистерезисные явления.

Равновесный рельеф границы раздела жидкость воздух определяется условием баланса сил, действующих на поверхность:

здесь ?^- максвелловский тензор (3.5), п- вектор внешней нормали к поверхности феррожидкости. Для двумерных возмущений т. = С, (х) первоначально плоской поверхности т. = 0 в последнем члене (2.49), определяющем капиллярное давление, остается один радиус кривизны

г = -(1 -К'2)^Д

Уравнение для тангенциальных компонент удовлетворяется тождественно в силу граничных условий

на поверхности г=С Пользуясь этими условиями и учитывая отсутствие объемных сил (равновесие)

запишем нормальную компоненту (3.18) в виде

Напряженность поля Н складывается из однородной части Н0 = (О, О, Н0) и возмущения к = —д), связанного с искривлением поверхности. Потенциалы ср и сре удовлетворяют уравнениям Лапласа. При Но, близких к Н*, решение системы (2.50)-(2.52) строилось из рядов по степеням амплитуды (квазилинейный метод):

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >