Переходные процессы в цепи с последовательным соединением элементов R,L,C

Рассмотрим особенности переходного процесса в цепи R,L,C (рис. 5.5,а) с нулевыми начальными условиями при подключении ее к постоянному напряжению U.

Рис. 5.5. Переходные процессы в последовательной цепи

Определим ток переходного процесса, придерживаясь указанного выше алгоритма.

1. В соответствии с исходными данными начальные условия являются нулевыми:

2. Выполним коммутацию и составим уравнение по второму закону Кирхгофа

3. Преобразуем уравнение (5.14), используя известные соотношения:

Для того чтобы избавиться от интеграла, продифференцируем обе части уравнения (5.15) и после деления на L получим

Уравнение (5.16)— дифференциальное, однородное уравнение второго порядка. Поэтому оно содержит только одну свободную составляющую. Принужденная составляющая i = 0. Это следует также из того, что ток установившегося режима после коммутации должен быть равен нулю, так как сопротивление емкости постоянному току равно бесконечности.

4. Решением однородного уравнения (искомый ток ;) будет функция, состоящая из суммы двух экспонент:

5. Составляем характеристическое уравнение корни которого Я,] и Х₂ равны

где

6. Определим постоянные интегрирования А и А₂, входящие в уравнение (5.17). Для этого надо составить два уравнения, в которых неизвестными должны быть А1 иА₂.

Первое уравнение получим из нулевых начальных условий и закона коммутации, учитывая при этом, что о = /

Подставив ? = 0в(5.17)с учетом (5.20), получим первое уравнение

Второе уравнение получим, если продифференцируем (5.17) и примем в нем t = 0

Выражение для (di / dt)| можно получить из исходного дифференциального уравнения (5.15)

так как

Второе уравнение для определения А и А₂ примет вид:

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными А1 и А₂

Решение этой системы дает

7. Искомый ток переходного процесса с учетом (5.25) будет равен:

Переходный процесс зависит от корней Ал и А? характеристического уравнения (5.18). Рассмотрим два случая:

а. Корни вещественные, отрицательные и разные по величине

Это возможно только при условии

Такой режим называется апериодическим. При этом ток приближается к установившемуся значению, меняя свою величину, но не меняя свое направление (рис. 5.6,6).

б. Корни А.1, Х₂ комплексные сопряженные с отрицательной вещественной частью. Это возможно при условии

Такой режим называется периодическим или колебательным. Здесь имеет место многократный обмен энергией между индуктивностью и емкостью (рис. 5.6, в). Число таких обменов или колебаний в единицу времени называется собственной частотой колебаний, которая не зависит от входного напряжения. При каждом колебании часть энергии будет расходоваться, выделяясь в виде тепла в активном сопротивление R . Поэтому процесс является затухающим.

Вопросы и задания для самопроверки

• 1. В каких цепях возможны переходные процессы?
• 2. Сформулируйте первый и второй законы коммутации.
• 3. Почему ток в индуктивности и напряжение на емкости не могут изменяться мгновенно?
• 4. Почему уравнения, отражающие переходные процессы в цепи, получаются дифференциальными?
• 5. Какие особенности имеет классический метод расчета переходных процессов?
• 6. Что влияет на частное решение (принужденную составляющую) дифференциального уравнения?
• 7. Почему свободная составляющая при t —э °° стремится к нулю?
• 8. Зачем необходимо определять начальные условия?
• 9. Как графически определить постоянную времени цепи?
• 10. Какие особенности индуктивности в цепи постоянного тока необходимо учитывать при расчете начальных условий и принужденной составляющей тока

Чч,?

Темы для рефератов

• 1. Роль переходных процессов в электротехнических устройствах.
• 2. Пути сокращения времени переходных процессов электрических цепях.