Переходные процессы в цепи с последовательным соединением элементов R,L,C
Рассмотрим особенности переходного процесса в цепи R,L,C (рис. 5.5,а) с нулевыми начальными условиями при подключении ее к постоянному напряжению U.
Рис. 5.5. Переходные процессы в последовательной цепи
Определим ток переходного процесса, придерживаясь указанного выше алгоритма.
1. В соответствии с исходными данными начальные условия являются нулевыми:
2. Выполним коммутацию и составим уравнение по второму закону Кирхгофа
3. Преобразуем уравнение (5.14), используя известные соотношения:
Для того чтобы избавиться от интеграла, продифференцируем обе части уравнения (5.15) и после деления на L получим
Уравнение (5.16)— дифференциальное, однородное уравнение второго порядка. Поэтому оно содержит только одну свободную составляющую. Принужденная составляющая i = 0. Это следует также из того, что ток установившегося режима после коммутации должен быть равен нулю, так как сопротивление емкости постоянному току равно бесконечности.
4. Решением однородного уравнения (искомый ток ;) будет функция, состоящая из суммы двух экспонент:
5. Составляем характеристическое уравнение
корни которого Я,] и Х2 равны
где
6. Определим постоянные интегрирования А и А2, входящие в уравнение (5.17). Для этого надо составить два уравнения, в которых неизвестными должны быть А1 иА2.
Первое уравнение получим из нулевых начальных условий и закона коммутации, учитывая при этом, что о = /
Подставив ? = 0в(5.17)с учетом (5.20), получим первое уравнение
Второе уравнение получим, если продифференцируем (5.17) и примем в нем t = 0
Выражение для (di / dt)| можно получить из исходного дифференциального уравнения (5.15)
так как
Второе уравнение для определения А и А2 примет вид:
Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными А1 и А2
Решение этой системы дает
7. Искомый ток переходного процесса с учетом (5.25) будет равен:
Переходный процесс зависит от корней Ал и А? характеристического уравнения (5.18). Рассмотрим два случая:
а. Корни вещественные, отрицательные и разные по величине
Это возможно только при условии
Такой режим называется апериодическим. При этом ток приближается к установившемуся значению, меняя свою величину, но не меняя свое направление (рис. 5.6,6).
б. Корни А.1, Х2 комплексные сопряженные с отрицательной вещественной частью. Это возможно при условии
Такой режим называется периодическим или колебательным. Здесь имеет место многократный обмен энергией между индуктивностью и емкостью (рис. 5.6, в). Число таких обменов или колебаний в единицу времени называется собственной частотой колебаний, которая не зависит от входного напряжения. При каждом колебании часть энергии будет расходоваться, выделяясь в виде тепла в активном сопротивление R . Поэтому процесс является затухающим.
Вопросы и задания для самопроверки
- 1. В каких цепях возможны переходные процессы?
- 2. Сформулируйте первый и второй законы коммутации.
- 3. Почему ток в индуктивности и напряжение на емкости не могут изменяться мгновенно?
- 4. Почему уравнения, отражающие переходные процессы в цепи, получаются дифференциальными?
- 5. Какие особенности имеет классический метод расчета переходных процессов?
- 6. Что влияет на частное решение (принужденную составляющую) дифференциального уравнения?
- 7. Почему свободная составляющая при t —э °° стремится к нулю?
- 8. Зачем необходимо определять начальные условия?
- 9. Как графически определить постоянную времени цепи?
- 10. Какие особенности индуктивности в цепи постоянного тока необходимо учитывать при расчете начальных условий и принужденной составляющей тока
Чч,?
Темы для рефератов
- 1. Роль переходных процессов в электротехнических устройствах.
- 2. Пути сокращения времени переходных процессов электрических цепях.