Символический метод расчета

Основы метода. Расчет разветвленных цепей синусоидального тока с помощью векторных диаграмм весьма затруднен. Выход из этих затруднений состоит в том, что вектор можно математически представить в виде комплексного числа. В результате геометрические действия с векторами можно заменить алгебраическими действиями с комплексными числами. При этом следует всегда помнить, что каждому вектору на плоскости соответствует комплексное число, а каждому комплексному числу соответствует вектор на плоскости.

Применяя комплексный метод, будем пользоваться всеми известными из курса математики правилами действия с комплексными числами.

Главными положениями комплексного метода являются понятия о комплексных токах и напряжениях, о комплексном сопротивлении, комплексной проводимости и комплексной мощности.

Комплексные токи и напряжения. Положения векторов токов и напряжений на комплексной плоскости показаны на рис. 3.7. Здесь U — комплексное действующее значение напряжения (сокращенно — комплексное напряжение); / — комплексное действующее значение тока (сокращенно — комплексный ток).

Рис. 3.7. Векторы тока и напряжения на комплексной плоскости

Аналитическая запись Uni имеет вид

Формулы (3.28) представляют собой алгебраическую, тригонометрическую и показательную формы записи. В этих формулах а и а₂ _ вещественные части комплексных величин; Ь и Ъ₂ — мнимые части комплексных величин; U и I— модули комплексных величин (действующие значения); |/„ и |/, _ аргументы комплексных величин (начальные фазы).

Пример. Известно комплексное напряжение и комплексный ток на зажимах двухполюсника: U = 30 + j40, В; 1=4+ /1, А. Требуется определить: а) действующие значения тока и напряжения; б) угол сдвига фаз <р между напряжением и током; в) построить векторную диаграмму двухполюсника на комплексной плоскости.

Решение.

а) Переведем комплексное напряжение и ток в показательную форму 0 = л/30² + 40²е^7arc'tg(⁴⁰/3°) _{= 5Qe}jS3' _B. j ₌ V4² +1 V'^arc,g(1/4) ₌ ^_Ue^jl4°, A, где 1= 4,12 A— действующее значение тока, соответствующее показанию амперметра; U =50, В — действующее значение напряжения, ф, = +14° — начальная фаза тока, а |/„ = +53° — начальная фаза напряжения.

Рис. 3.8. Изображение комплексного тока и напряжения

• б) Угол сдвига фаз <р между напряжением и током ф = у₍ -у. =53-(+14) = +39°. Знак (+) этого угла указывает на индуктивный характер.
• в) Векторная диаграмма этой цепи показана на рис. 3.8.

В рассмотренных выше примерах векторы Uni располагались на комплексной плоскости в первом и четвертом ее квадрантах. При построении векторных диаграмм сложных цепей (трансформатор, асинхронный двигатель) комплексные токи и напряжения могут располагаться в любом из четырех ее квадрантов.